Dualraum Sobolevraum Einbettung

09.06.2018, 22:11

alina94

Dualraum Sobolevraum Einbettung

Hey,

ich habe hier in einem Skript folgende Implikation:

Aus $\begin{eqnarray*} u_n \rightharpoonup u \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} L^2(\Omega) \end{eqnarray*}$ soll folgen $\begin{eqnarray*} u_n \rightharpoonup u \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} W^{-1,2}(\Omega) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} s > \frac{6}{5} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \Omega \subset \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ .

Ich habe jetzt hier die Einbettung $\begin{eqnarray*} L^2 \subset W^{-1,2} \end{eqnarray*}$ , was die Aussage ja für $\begin{eqnarray*} s \geq 2 \end{eqnarray*}$ liefern sollte, aber für $\begin{eqnarray*} s < 2 \end{eqnarray*}$ finde ich nichts entsprechendes... gibt es da ähnliche Resultate oder muss ich anders vorgehen? Danke schon mal smile

10.06.2018, 11:40

IfindU

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Was ist s?

10.06.2018, 20:16

alina94

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Zitat:

Original von IfindU
Was ist s?

Tut mir leid, Tippfehler natürlich. $\begin{eqnarray*} u_n \end{eqnarray*}$ konvergiert schwach in $\begin{eqnarray*} L^s(\Omega) \end{eqnarray*}$ , nicht in $\begin{eqnarray*} L^2(\Omega) \end{eqnarray*}$ .

12.06.2018, 07:25

IfindU

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Schreib dir die Definition der schwachen Konvergenz in $\begin{eqnarray*} W^{-1,2} \end{eqnarray*}$ mal hin. Dann kannst du benutzen, dass $\begin{eqnarray*} W^{1,2} \subset L^{2^*} \end{eqnarray*}$ gilt. Mehr ist das nicht.

13.06.2018, 21:00

alina94

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Ah das macht natürlich Sinn, vielen Dank!

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