Lösen homogenes, lineares Differentialgleichungssystem mit AWP

10.06.2018, 12:05

principessa789

Lösen homogenes, lineares Differentialgleichungssystem mit AWP

Meine Frage:
Hallo, ich habe folgendes lineares System von DGL gegeben:

x'= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 4 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ x, wobei $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 4 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ =:A

mit x(0)= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Zuerst habe ich die Eigenwerte der Matrix bestimmt, der Eigenwert lautet 1 mit Vielfachheit 3.
Nun habe ich den Kern (A-E) bestimmt, wobei (A-E)=:B:
Ker $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & -2 & 1 \\ 0 & -2 & -1 \\ 0 & 4 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ =span $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt muss ich Hauptvektoren bestimmen, da nur eine geometrische Vielfachheit von 1, im Gegensatz zur algebraischen Vielfachheit von 3, zum EW 1 bei A existiert.

Also:
Ker(B)^2=Ker $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 8 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ =span( $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ )

Ker(B)^3=Ker $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ =span( $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ )

Ich wähle w_3= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Daraus ergibt sich w_2=B*w3; und w_1=B*w2.
Daraus ergibt sich die Matrix (w_1,w_2,w_3)= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 8 & -2 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & 4 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ =:T

Rechnet man T^(-1)*A*T= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , also die Jordansche Normalform, ich hoffe daher, dass die Rechnung bis dahin stimmen müsste.

Dann rechne ich: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 8 & -2 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & 4 & 0 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} e^{t} \\ e^{t} \\ e^{t} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8e^{t}-2e^{t} \\ -2e^{t}+e^{t} \\ 4e^{t} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt muss noch das AWP gelöst werden, also:
8a-2b=1
-2b+c=2
4b=3

daraus ergibt sich:
a=5/16
b=3/4
c=7/2

Setzt man dies in $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 8e^{t}-2e^{t} \\ -2e^{t}+e^{t} \\ 4e^{t} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ein, so erhält man:

x= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} e^{t} \\ 2e^{t} \\ 3e^{t} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

was sich in der Probe aber offensichtlich als falsch herausstellt unglücklich

Kann mir jemand bitte sagen, wo mein Fehler liegt?

10.06.2018, 14:46

klarsoweit

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RE: Lösen homogenes, lineares Differentialgleichungssystem mit AWP
Ich habe mir jetzt nicht alles angesehen, denn ich finde hier spontan einen Fehler:

Zitat:

Original von principessa789
Also:
Ker(B)^2=Ker $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 8 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ =span( $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ )

Wie man leicht sieht, ist der Vektor (0, -2, 1) nicht im Kern. Augenzwinkern

10.06.2018, 17:23

Principessa789

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RE: Lösen homogenes, lineares Differentialgleichungssystem mit AWP

Zitat:

Original von klarsoweit
Ich habe mir jetzt nicht alles angesehen, denn ich finde hier spontan einen Fehler:

Zitat:

Wie man leicht sieht, ist der Vektor (0, -2, 1) nicht im Kern. Augenzwinkern

Danke für die Antwort! smile

Wieso denn nicht? Das Gleichungssystem 8y+4z=0 führt auf z=-2y?

Ich habe mittlerweile den Fehler aber gefunden, danke! smile

Ich hab das Fundamentalsystem falsch erstellt, man hätte mit der Definition der Matrixexponentialfunktion arbeiten müssen, dann hat es mit der Lösung wunderbar geklappt smile

Danke trotzdem!

Liebe Grüße,
Principessa

11.06.2018, 08:41

klarsoweit

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RE: Lösen homogenes, lineares Differentialgleichungssystem mit AWP

Zitat:

Original von Principessa789
Danke für die Antwort! smile

Wieso denn nicht? Das Gleichungssystem 8y+4z=0 führt auf z=-2y?

Da bin ich ja mal neugierig, was du nun für ein Fundamentalsystem hast. Denn (nochmal): der Vektor (0, -2, 1) löst nicht die Gleichung 8y+4z=0 .

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