Nachfrage zu Folgen

10.06.2018, 16:18	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
Nachfrage zu Folgen Hallo zusammen, bei einem Beweis haben wir folgende Aussage getroffen , allerdings frage ich mich warum und ob man das immer sagen kann: Wir hatten gegeben: $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ metr. Raum und $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ kompakt; $\begin{eqnarray} f: X \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ stetig. Wir hatten dann $\begin{eqnarray} A=f(X)\subset \mathbb R \end{eqnarray}$ kompakt (ist mir klar). Dann folgte aus der Kompaktheit von A , dass A beschränkt und abgeschlossen ist (Heine-Borel). Wir haben dann gesagt ,da A beschränkt ist sind sup(A) und inf(A) endliche Zahlen. Also bis hierhin versteh ich alles, aber : Jetzt sagen wir das daraus folgt, dass Folgen $\begin{eqnarray} x_k \subset X \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_k \subset X \end{eqnarray}$ existieren mit $\begin{eqnarray} \lim_{k \to \infty } f(x_k) = sup(A) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim_{k \to \infty } f(y_k) = inf(A) \end{eqnarray}$ Woher weiß man das solche Folgen zwingend existieren ? LG Snexx_Math
10.06.2018, 16:51	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgrund der Supremumseigenschaft gibt es zu $\begin{eqnarray} k\in\mathbb N \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} z_k\in f(X) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sup(A)-\frac 1k \leq z_k\leq \sup(A) \end{eqnarray}$ . Ich denke, damit kannst du es zu Ende führen, oder?
10.06.2018, 17:07	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
für k gegen Unendlich greift das Sandwich Lemma , also steht dann dort $\begin{eqnarray} sup(A)\leq z \leq sup(A) \Rightarrow z =sup(A) \end{eqnarray}$ mit dem Grenzwert z von der Folge $\begin{eqnarray} z_k \end{eqnarray}$ Danke

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »