Punkte in genau einer Loesungskurve mit Picard-Lindelöf

10.06.2018, 18:30

DesmondTMB

Punkte in genau einer Loesungskurve mit Picard-Lindelöf

Kann mir Jemand bei folgender Aufgabe helfen?

Finden Sie unter Benutztung des Satzes von Picard-Lindloef (lokale Version) alle Punkte $\begin{eqnarray*} (t, y) \in ~\mathbb R^{2} \end{eqnarray*}$ , durch welche genau eine Loesungskurve der folgenden Differentialgleichung verlaeuft
$\begin{eqnarray*} y'(t) = 2ty(t) + y(t)^{2} \end{eqnarray*}$

Ich habe zunaechst diese Ungleichung aufgestellt
$\begin{eqnarray*} |f(t,y_{1}) - f(t,y_{2})| = |(2ty_{1}+y_{1}^{2}) - (2ty_{2}+y_{2}^{2})| \leq ... \leq |4t|max\{|y_{1}|,|y_{2}|\}|y_{1}-y_{2}| \end{eqnarray*}$

Woraus ich nun schliesse, dass die Lipschitz-Stetigkeit erfuellt ist, wenn $\begin{eqnarray*} (t,y) \in [\alpha, \beta]\times~\mathbb R \end{eqnarray*}$ , da dann sowohl $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ beschraenkt sind.

Ich habe jetzt aber keine Ahnung ob das gefragt war, oder ob ich komplett irgendwas anderes gemacht habe. Ich habe ja jetzt nicht wirklich Punkte berechnet.

11.06.2018, 09:34

Huggy

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RE: Punkte in genau einer Loesungskurve mit Picard-Lindelöf

Zitat:

Original von DesmondTMB
[QUOTE]Ich habe zunaechst diese Ungleichung aufgestellt $\begin{eqnarray*} |f(t,y_{1}) - f(t,y_{2})| = |(2ty_{1}+y_{1}^{2}) - (2ty_{2}+y_{2}^{2})| \leq ... \leq |4t|max\{|y_{1}|,|y_{2}|\}|y_{1}-y_{2}| \end{eqnarray*}$

So stimmt diese Abschätzung nicht. Setze mal $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ . Dann steht ganz rechts auch 0, was offensichtlich nicht stimmen kann. Vielleicht liegt nur ein Schreibfehler vor.

Zitat:

Woraus ich nun schliesse, dass die Lipschitz-Stetigkeit erfuellt ist, wenn $\begin{eqnarray*} (t,y) \in [\alpha, \beta]\times~\mathbb R \end{eqnarray*}$ , da dann sowohl $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ beschraenkt sind.

$\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ist auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ nicht beschränkt. Du musst dich auch für $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ auf ein endliches Intervall beschränken. Die Lipschitzstetigkeit der rechten Seite der DGL bezüglich $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ in einem Gebiet $\begin{eqnarray*} (t,y) \in [\alpha, \beta] \times [\gamma, \delta] \end{eqnarray*}$ ergibt sich aus einer Korrektur deiner Abschätzung oder alternativ aus der Beschränkeit der Ableitung der rechten Seite der DGL nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ in einem solchen Gebiet.

Da du dieses Gebiet beliebig wählen kannst, gibt es nach Picard-Lindelöf durch jeden Anfangspunkt $\begin{eqnarray*} (t_0,y_0) \in \mathbb R \times \mathbb R \end{eqnarray*}$ eine eindeutig bestimmte Lösung in einer Umgebung von $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ . Das besagt aber nicht, dass man diese Lösungen auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ fortsetzen kann.

11.06.2018, 15:17

DesmondTMB

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Du hast recht die Abschaetzung muesste sein $\begin{eqnarray*} \leq (|2t| + 2max\{|y_{1}|,|y_{2}|\})|y_{1}-y_{2}| \end{eqnarray*}$

Zitat:

$\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ist auf ganz $\begin{eqnarray*} ~\mathbb R \end{eqnarray*}$ nicht beschränkt.

Ich dachte, wenn ich $\begin{eqnarray*} t \in [\alpha,\beta] \end{eqnarray*}$ vorgebe, dann ist $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ automatisch beschraenkt, da stetige Funktionen auf kompakten Intervallen beschraenkt sind. Da $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist muss es auch stetig sein.

11.06.2018, 15:22

Huggy

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Was hat das Intervall für $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ mit der Beschränktheit von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ zu tun?

11.06.2018, 15:36

DesmondTMB

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der Satz von Weierstraß sagt: Jede auf einem kompakten Intervall definierte stetige Funktion ist dort beschränkt und nimmt dort ein Maximum und ein Minimum an.

11.06.2018, 15:41

Huggy

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Das bezweifelt ja niemand. Wenn du eine Funtion von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ allein hast, kannst du das Argument verwenden. Du hast aber eine Funktion von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ . Und dann brauchst du für den Satz ein kompaktes Gebiet für $\begin{eqnarray*} (t,y) \end{eqnarray*}$ .

11.06.2018, 15:56

DesmondTMB

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Das verstehe ich nicht. $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ selbst ist ja eine Funktion die nur von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ abhaengt. Ich weiss, dass $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ stetig ist, da $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist. Wenn ich nun $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ auf ein kompaktes Intervall $\begin{eqnarray*} [\alpha,\beta] \end{eqnarray*}$ beschraenke, dann kann ich doch eine Stelle in diesem Intervall fuer $\begin{eqnarray*} t_{0} \end{eqnarray*}$ nehmen und fuer $\begin{eqnarray*} y(t_{0}) \end{eqnarray*}$ irgendeine reelle Zahl festlegen.
Durch die Stetigkeit und daraus folgende Beschraenktheit auf dem Intervall um den Punkt $\begin{eqnarray*} t_{0} \end{eqnarray*}$ weiss ich dann, dass ich ueberhaupt ein Maximum von $\begin{eqnarray*} y_{1}, y_{2} \end{eqnarray*}$ berechnen kann. Dadurch erhalte ich Lipschitz-Stetigkeit um die Stelle $\begin{eqnarray*} t_{0} \end{eqnarray*}$ .

11.06.2018, 16:08

Huggy

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Ah, jetzt verstehe ich deine Überlegung. Da bist du in eine böse Falle getappt. Wenn man eine DGL $\begin{eqnarray*} y'=f(t,y) \end{eqnarray*}$ hat und soll für den Satz von Picard-Lindelöf die Lipschitzstetigkeit von $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ bezüglich $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ nachweisen, dann soll man $\begin{eqnarray*} f(t,y) \end{eqnarray*}$ so betrachten, als ob $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ unabhängige Variablen wären. So ist das halt gemeint.

11.06.2018, 16:13

DesmondTMB

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Ahh okay.
Also verlange ich einfach $\begin{eqnarray*} (t,y) \in [\alpha,\beta] \times [\gamma, \delta] \end{eqnarray*}$ und erhalte so lokale Lipschitz-Stetigkeit in jedem Punkt?

11.06.2018, 16:29

Huggy

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Lipschitzstetigkeit in einem Punkt ergibt keinen Sinn. Da wäre immer $\begin{eqnarray*} y_2=y_1 \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ brauchst du schon das Intervall. Und für $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ wird in dem Satz auch gefordert, dass die Lipschitzkonstante $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ in einer ganzen Umgebung eines Anfangspunktes $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ gilt. Das ist bei deiner Aufgabe auch kein Problem. Man findet leicht eine $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ für das gesamte Gebiet $\begin{eqnarray*} [\alpha,\beta] \times [\gamma, \delta] \end{eqnarray*}$ .

11.06.2018, 16:36

DesmondTMB

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Verstehe ich setzte also einfach $\begin{eqnarray*} L=2(max\{|\alpha|,|\beta|\} + max\{|\gamma|,|\delta|\}) \end{eqnarray*}$ beziehungsweise noch ein bisschen einfacher $\begin{eqnarray*} L=4max\{|\alpha|,|\beta|,|\gamma|,|\delta|\} \end{eqnarray*}$

11.06.2018, 16:39

Huggy

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Richtig.

11.06.2018, 17:12

DesmondTMB

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Vielen Dank smile

Ich braeuchte noch etwas Hilfe bei anderen Aufgaben derselben Art.

$\begin{eqnarray*} ty'=y+\sqrt{y^{2}-t^{2}}<br /> => y' = \frac{y+\sqrt{y^{2}-t^{2}}}{t} \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} |y| \geq |t| \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t \neq 0 \end{eqnarray*}$ )
$\begin{eqnarray*} \left|\frac{y_{1}+\sqrt{y_{1}^{2}-t^{2}}-y_{2}-\sqrt{y_{2}^{2}-t^{2}}}{t}\right| = \left|\frac{y_{1}-y_{2}+\sqrt{y_{1}^{2}-t^{2}}-\sqrt{y_{2}^{2}-t^{2}}}{t}\right| \leq \left|\frac{y_{1}-y_{2}}{t}\right| + \left|\frac{\sqrt{y_{1}^{2}-t^{2}}-\sqrt{y_{2}^{2}-t^{2}}}{t}\right|<br /> \end{eqnarray*}$
Hier komme ich nicht mehr weiter. Ich kann den rechten Teil nicht wegschmeissen, da es sonst kleiner wird. Irgendwie muss ich aus dem rechten Summanden einen Faktor fuer $\begin{eqnarray*} |y_{1}-y_{2}| \end{eqnarray*}$ machen, aber ich sehe nicht wie.

12.06.2018, 08:15

Huggy

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Zitat:

Original von DesmondTMB
Hier komme ich nicht mehr weiter.

Das ist kein Wunder. In diesem Beispiel gibt es Einschränkungen bei der Lipschitzstetigkeit. Das liegt an dem Term $\begin{eqnarray*} \sqrt {y^2-t^2} \end{eqnarray*}$ . Da divergiert der Differenzenquotient im Fall von $\begin{eqnarray*} y_1=t \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} y_2 \to y_1 \end{eqnarray*}$ . Man kann also für Gebiete wie $\begin{eqnarray*} (t,y) \in [a,b]\times [b,c] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0<a<b<c \end{eqnarray*}$ keine Lipschitzstetigkeit nachweisen. Daher ist für Anfangsbedingungen $\begin{eqnarray*} (t_0,y_0)=(t_0,t_0) \end{eqnarray*}$ auch keine Eindeutigkeit der Lösung gewährleistet.

In anderen Gebieten hat man Lipschitzstetigkeit. Da würde ich mich aber nicht mit einer direkten Abschätzung für L quälen, sondern sie mit der Beschränkheit von

$\begin{eqnarray*} \frac {\partial f(t,y)}{\partial y} \end{eqnarray*}$

auf dem Gebiet begründen.

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