Probleme bei einer Eigenwert/Vektor Aufgabe

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stelljano Auf diesen Beitrag antworten »
Probleme bei einer Eigenwert/Vektor Aufgabe
Hallo Leute, nachfolgend findet Ihr eine Aufgabe, bei der ich mich doch recht schwer tue. Bisher hatten wir nur Aufgabenstellungen, bei denen eine Matrix gegeben war und keine EW oder EV.

Fragestellung:

Gegeben sei die 3x3 Matrix mit den noch unbekannten EInträgen a und b.
Die Eigenwerte und dieser Matrix sind bekannt. Außerdem sei der Eigenvektor zum dritten Eigenwert bekannt. Er lautet:

EV3 =




(a) Bestimme die Einträge a und b der Matrix A
(b) Bilde die Matrix V der Eigenvektoren
(c) Berechne die Inverse Matrix
(d) Berechne die Diagonalmatrix
(e) Berechne Sie die Potenz von



(a)
det(A)=det = a-2=0 => a=2

b = 0.

Kann man das so sagen, bzw machen?

(b) Hier würde ich jetzt eigentlich lambda 1 in diese Matrix einsetzen um so den Eigenvektor für lambda 1 zu bekommen ( selbiges für lamda 2). Aber ich bekomme totalen mist raus, weil ich wahrscheinlich b oder a falsch bestimmt habe.


Kann mir hier vielleicht kurz jemand einen Tip geben?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Probleme bei einer Eigenwert/Vektor Aufgabe
Zitat:
Original von stelljano
(a)
det(A)=det = a-2=0 => a=2

b = 0.

Kann man das so sagen, bzw machen?

Die eigentliche Frage ist doch: warum sollte die Determinante der Matrix A gleich Null sein?
Als erstes könntest du mal den dritten Eigenwert lambda_3 bestimmen.

Ich schiebe das mal in den Hochschulbereich.
 
 
stelljano Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz ehrlich? Ich kann nicht sagen, wieso die Determinante = 0 ist/sein soll. ? verwirrt geschockt


Ich habe auch schon überlebt lamda3 auszurechnen, aber daran bin ich gescheiter, weil ich keine Werte für a und b habe.


Mein Charakteristisches Polynom würde so aussehen: und normal würde ich die Gleichung lösen um so meine Eigenwerte zu bekommen. Aber wie funktioniert das nun? Ich stehe total auf dem Schlauch Hammer
stelljano Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe jetzt folgende Formel gefunden:









Jetzt haette ich als III. Gleichung: -a-b+1 = lamda. Aber ohne a und b komme ich dennoch nicht weiter?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von stelljano
Mein Charakteristisches Polynom würde so aussehen:

Vorzeichenfehler:

Du hast die Information, dass sowohl als auch Lösung dieser Gleichung sind. Wenn du die beiden also einsetzt, bekommst du zwei lineare Gleichungen für ...

Zitat:
Original von stelljano
Außerdem sei der Eigenvektor zum dritten Eigenwert bekannt. Er lautet:

EV3 =

Tatsächlich ist diese Information redundant, d.h., sie ergibt sich auch so aus den anderen Werten.
stelljano Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Vorzeichenfehler:


Falsch übertragen, ups.

Zitat:
Du hast die Information, dass sowohl als auch Lösung dieser Gleichung sind. Wenn du die beiden also einsetzt, bekommst du zwei lineare Gleichungen für


Also:





Und





Somit bekomme ich für a=-1 und b=1 heraus. Diese Werte scheinen auch zu stimmen. super Big Laugh

Vielen Dank erstmal für die Hilfe
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von stelljano
Somit bekomme ich für a=-1 und b=1 heraus.

Auch ich kann die bestätigen. Na dann mal weiter wacker voran! Augenzwinkern
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von stelljano
Ich habe auch schon überlebt lamda3 auszurechnen, aber daran bin ich gescheiter, weil ich keine Werte für a und b habe.

Das ist auch nicht nötig. Wenn du A * EV3 rechnest, siehst du schon an der ersten Komponente, welchen Eigenwert dieser Vektor hat. Augenzwinkern
stelljano Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe für die Matrix V folgende Matrix aufgestellt:



Dafür habe ich schlicht die Lambdawerte in die Diagonale von A gesetzt und die Matrix via Gauß gelöst.

Die Drei Einheitsvektoren (Spaltenvektoren) habe ich dann einfach nebeneinander in die Matrix gesetzt.

Meine Frage ist: Gibt es eine andere Möglichkeit die Einheitsvektoren zu bekommen? Gerade ohne vernünftigen Taschenrechner ist das Rechnen mit diesen Wurzelausdruecken total nervig und fehleranfällig :/
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von stelljano
Gibt es eine andere Möglichkeit die Einheitsvektoren zu bekommen?

Eigenvektoren bitte! Einheitsvektor ist ganz was anderes.
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