Längentreue Automorphismus

11.06.2018, 15:40	Lar41	Auf diesen Beitrag antworten »
Längentreue Automorphismus Meine Frage: Ich habe ein paar Fragen zum Beweis des Satzes: Jeder $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ -Algebra-Automorphismus $\begin{eqnarray} h: \mathbb{H} \rightarrow \mathbb{H} \end{eqnarray}$ ist konjugierungs- und längentreu. Meine Ideen: Es gilt: h(e)=e (Gilt dies nach der Definition eines K-Algebra-Homomorphismus) und $\begin{eqnarray} Im (\mathbb{H})={x \in \mathbb{H} : x^2 =-we , w\geq 0} \end{eqnarray}$ (warum gilt diese Tatsache? $\begin{eqnarray} x^{2}=(a^2 -b^2 -c^2 -d^2)e +(2ab)i + (2ad)k \end{eqnarray}$ nun ist aber der Realteil doch nicht zwingend negativ, so dass $\begin{eqnarray} x^2=-we, w \geq 0 \end{eqnarray}$ gelten muss? Meine letzte Frage ist, wie aus den beiden Eigenschaften folgt, dass $\begin{eqnarray} h(Im \mathbb{H)} \subset Im \mathbb{H} \end{eqnarray}$ ? Danke
11.06.2018, 16:28	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} x\in Im(\mathbb H)\Leftrightarrow a=0 \end{eqnarray}$ , also gilt $\begin{eqnarray} x^2=(a^2-b^2-c^2-d^2)e+(2ab)i+(2ad)k=-we,w=b^2+c^2+d^2\ge 0 \end{eqnarray}$
11.06.2018, 16:35	Lar41	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay danke, das macht Sinn. Kannst du mir noch etwas zu h(e)=e sagen und warum die Inklusion besteht?
11.06.2018, 17:57	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das weiß ich auch nicht, aber ich vermute folgendes: $\begin{eqnarray} h(e)^2=h(e^2)=h(e)\Rightarrow h(e)=e \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x\in Im(\mathbb H)\Rightarrow x^2=-we \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} h(x)^2=h(x^2)=h(-we)=-wh(e)=-we\Rightarrow h(x)\in Im(\mathbb H) \end{eqnarray}$

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