Volumen > 0, ABER keine Oberfläche

12.06.2018, 13:43

MacPhail

Volumen > 0, ABER keine Oberfläche

Meine Frage:
Hi!

Eine aktuelle Aufgabe unseres Ana2-Tutoriums lautet so:

Das Volumen eines Kästchens soll $\begin{eqnarray*} V > 0 \end{eqnarray*}$ Volumeneinheiten umfassen. Wie klein kann die Oberfläche gemacht werden?

Ich kann die Aufgabe nicht ganz in den Umfang des Themas "Mehrdimensionale Differentialrechnung" einordnen.

Meine Ideen:
Ich denke an eine ähnliche Konstruktion, wie die eines Sierpinski-Dreiecks:

Man denke sich einen Würfel, teile ihn in 8 kleinere Würfel und entferne 4 davon, so dass die Übrigen kreuzweise/diagonal zueinander stehen. Mit den letzteren Würfeln wiederholt man diesen Vorgang bis zur Unendlichkeit.

Man erhält also einen 3D-Körper, welcher letztendlich nur aus Kanten besteht (mit Ausrichtungen in alle 3 Raumrichtungen). So eine Konstruktion hat keine Oberfläche, denn die Kanten sind 1-dimensional, aber dennoch ein Volumen, $\begin{eqnarray*} V > 0 \end{eqnarray*}$ hat, da es sich sonst nicht um einen 3-dimensionalen Körper handeln könnte (mindestens eine Raum-Komponente müsste 0 sein...?).

Finde leider keinen besseren Lösungsansatz. Könnt ihr mir aushelfen?

12.06.2018, 14:44

HAL 9000

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Ich würde mal sagen, du denkst viel zu kompliziert:

Mit "Kästchen" wird wohl schlicht ein Quader gemeint sein, d.h. mit dessen Abmessungen $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ geht es hier um das Extremalproblem

$\begin{eqnarray*} A = 2(ab+bc+ca)\to\min \end{eqnarray*}$ unter NB $\begin{eqnarray*} abc=V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a>0,b>0,c>0 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von MacPhail
Man denke sich einen Würfel, teile ihn in 8 kleinere Würfel und entferne 4 davon, so dass die Übrigen kreuzweise/diagonal zueinander stehen. Mit den letzteren Würfeln wiederholt man diesen Vorgang bis zur Unendlichkeit.

Man erhält also einen 3D-Körper, welcher letztendlich nur aus Kanten besteht (mit Ausrichtungen in alle 3 Raumrichtungen). So eine Konstruktion hat keine Oberfläche, denn die Kanten sind 1-dimensional

Ganz im Gegenteil: Das so entstandene Sierpinski-Gebilde hat nach jedem Teilungsschritt dieselbe Gesamtoberfläche, während sich dabei das Volumen halbiert. Man kann also sagen, dass man im Grenzwert ein Gebilde vom Volumen 0 erhält, was denselben Oberflächeninhalt wie der Ausgangswürfel hat.

Und damit kommen wir zur entscheidenden Frage: Was hat dieses Gedankenexperiment mit der eigentlichen Problemstellung hier zu tun? An sich nichts. Augenzwinkern

13.06.2018, 11:02

MacPhail

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Danke! In der Tat... das war tatsächlich viel zu kompliziert gedacht verwirrt

und wohlgemerkt falsch.

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