Clifford translation

12.06.2018, 14:05	Silencium92	Auf diesen Beitrag antworten »
Clifford translation Guten Tag, ich habe eine Frage zu einer Aufgabe aus meinem Differentialgeometrie Kurs. Eine Isometrie $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ auf einer riemann Mannigfaltigkeit $\begin{eqnarray} (M,g) \end{eqnarray}$ heißt clifford translation wenn die funktion $\begin{eqnarray} p\to d(p,\phi(p) \end{eqnarray}$ konstant ist. d ist die riemann Distanz $\begin{eqnarray} d(p,q)=inf\{L[c] \| c:[a,b]\to M, \text{Stückweise} C^1, c(a)=p,c(b)=q\} \end{eqnarray}$ und die Länge einer Kurve ist durch $\begin{eqnarray} L[c]=\int_a^b \|\|\dot{c}(t)\|\| dt \end{eqnarray}$ gegeben. (1) Zeigen Sie, dass die clifford translation in $\begin{eqnarray} (\mathbb R^n, g_{euklidisch}) \end{eqnarray}$ der gewöhnlichen Translation entspricht. Für zwei beliebige Punkte $\begin{eqnarray} p,\phi(p)=q \end{eqnarray}$ im $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} d(p,q)= L[t\to p+(q-p)t], t\in[0,1] \end{eqnarray}$ . Für die länge erhält man $\begin{eqnarray} L[t\to p+(q-p)t]=\|p-q\| \end{eqnarray}$ Ich sehe noch nicht, wie ich daraus implizieren kann das $\begin{eqnarray} \phi(p) \end{eqnarray}$ eine Translation sein muss.

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