Logarithmus schriftlich mit geringem Aufwand berechnen.

Neue Frage »

Mathsnew Auf diesen Beitrag antworten »
Logarithmus schriftlich mit geringem Aufwand berechnen.
Meine Frage:
Ich möchte den Logarithmus Naturalis schriftlich berechnen und habe dazu auch schon eine Methode ausprobiert die allerdings trotz aller Vereinfachung und Komprimierung eine knappe 3/4 Std. in Anspruch nimmt um den ln von 10 auf 3 - 5 Nachkommastellen zu berechnen! Das ist natürlich viel zu lang. Dabei benutze ich schon den Newton Raphson Algorithmus und Schnellrechenmethoden. Hat hier vielleicht jemand noch eine Idee wie man das Ganze noch weiter abkürzen könnte?

Meine Ideen:
Ich benutze Überkreuzmultiplikation und verkürzte mehrmalige Division(Umkehrung des Potenzierens)bei welcher ich die Basis e quadriere oder kubiere um die Anzahl der notwendigen Divisionen entsprechend zu halbieren oder zu dritteln. Anschließend ermittele ich die 10., 100., 1000., 5., 50., 500. und 2., 20 und 200. Wurzeln mit dem Newtonverfahren damit ich alles später in die Gleichung x1-((e^x1-n)/e^x1) = x2 einfügen und iterieren kann. Der Aufwand an Nebenrechnungen ist mir aber zu groß und das Newtonverfahren erscheint mir aber am Besten geeignet da es quadratisch konvergiert. Den Startwert ermittele ich mit mehrmaliger Divison durch die Basis bis 1 rauskommt oder durch Schätzen wenn ich es schon genau abschätzen kann.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Die gute alte Taylorreihe liefert für





und in der Summe



Substitution für irgendeine positive reelle Zahl liefert und damit

.

Das Verfahren konvergiert umso schneller, je näher an der liegt. Daher kann man das für eine beliebige positive reelle Zahl so "vorverarbeiten":

Es ist ja . Da dir Zahl ja anscheinend in ausreichender Genauigkeit zur Verfügung steht, kannst du also solange durch dividieren bzw. multiplizieren, bis du eben eine solche ganze Zahl findest, so dass für die Einschachtelung zutrifft. Und dann geht man damit in Formel (*) bzw. (**).

Beispiel ergibt und damit und weiter dann . Eingesetzt in (*) dürfte man nicht mehr als drei, vier Reihenglieder brauchen, um die von dir benötigte Genauigkeit zu erhalten.
 
 
Mathsnews Auf diesen Beitrag antworten »
Logarithmen schriftlich berechnen
Meine Frage:
Hallo, ich habe hier schon mal gefragt und muss jetzt nochmal etwas weiter ausholen.
Meine Frage war wie ich mit möglichst geringem Aufwand den natürlichen Logarithmus schriftlich berechnen kann. Ich habe es mit der Newton Raphson Methode unter Anwendung von Schnellrechenmethoden versucht und bin gescheitert. Es dauert einfach zu lange und die Nebenrechnungen verschlingen alleine schon mindestens 30 Minuten bevor man überhaupt die 1. Iteration berechnet hat. Es sollte aber nicht länger dauern als 5 Minuten für 4 Stellen hinter dem Komma. Man hatte mir hier die Taylor-Reihe empfohlen. Allerdings muss ich dazu sagen dass ich diese 1. nicht verstehe und 2. diese anscheinend nicht so schnell konvergiert wie das Newton-Verfahren bei welchem sich ja die Anzahl der richtigen Stellen mit jeder Iteration fast verdoppelt! Beide Verfahren scheinen rein Mathematisch gesehen höchst elegant und kompakt, sind aber arithmetisch betrachtet eine reine Katastrophe! Da ich aber wie schon gesagt die Taylor-Reihe nicht wirklich gut verstehe und sie trotzdem gerne einmal anwenden möchte wäre ich um Aufklärung dahingehend wie diese jetzt genau im Einzelnen anzuwenden ist echt dankbar!

Meine Ideen:
Mein Ansatz ist dass ich wie sonst auch Schnellrechenmethodik anwende um die einzelnen Wurzeln und Potenzen auszurechnen um an die Zahl zu kommen falls das ausrechnen der Wurzeln überhaupt notwendig ist.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht solltest du mal präzisieren, was du mit "schriftlicher Berechnung" meinst. Dann kann man vielleicht auch besser verstehen, welche Operationen dir genehm sind, und welche nicht. Obiges Taylor benötigt z.B. nur +,-,* sowie / nur für ganze Zahlen als Divisor, nix teures wie Wurzelziehen.

Und deine Dramatisierung bestimmter Methoden als "reine Katastrophe" sind auch wenig hilfreich wenn du nicht erklärst, was du daran denn so katastrophal hältst. Ziel war doch

Zitat:
Original von Mathsnew
um den ln von 10 auf 3 - 5 Nachkommastellen zu berechnen!

und das wird mit obigem modifizierten Taylor mit drei, vier Schritten erreicht. Was ist denn daran so "katastrophal"? Man hat keine quadratische Konvergenz sondern nur lineare, Ok, aber für deine quadratische Konvergenz per Newton o.ä. brauchst du doch Logarithmus- oder Exponentialfunktion in jedem Schritt, oder verstehe ich da was falsch? Da beißt sich doch die Katze in den Schwanz!

Zitat:
Original von Mathsnews
Da ich aber wie schon gesagt die Taylor-Reihe nicht wirklich gut verstehe und sie trotzdem gerne einmal anwenden möchte wäre ich um Aufklärung dahingehend wie diese jetzt genau im Einzelnen anzuwenden ist echt dankbar!

Hallo? Das oben war schon extrem ausführlich sowie konkret, was die verwendeten Formeln betrifft. Wenn ich das mit dem vergleiche, was du zu deinem Verfahren bisher spärliches hast verlauten lassen... Welche Schritte sind denn noch unklar?

P.S.: Danke an den Moderator, der den Beitrag hingeschoben hat, wo er hingehört.
Krombopulus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Logarithmen schriftlich berechnen
Zitat:
Original von Mathsnews
Meine Frage:
Man hatte mir hier die Taylor-Reihe empfohlen. Allerdings muss ich dazu sagen dass ich diese 1. nicht verstehe und 2. diese anscheinend nicht so schnell konvergiert wie das Newton-Verfahren


Dazu kann ich nur sagen: Das Newton-Verfahren basiert auf einer Taylor-Reihe Augenzwinkern
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »