Kongruenz mit Induktion

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line32 Auf diesen Beitrag antworten »
Kongruenz mit Induktion
Meine Frage:
Zeige 3^2^n = 1+ 2^(n+2) (mod 2^(n+3))

Meine Ideen:
IA ist klar.
Beim Induktionsschritt ändert sich jetzt aber die modulo - klasse also zu 2^(n+4) und dann ist die Onduktionsvoraussetzung doch nicht mehr gegeben, wie geht das?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Schreiben wir es erstmal in besser lesbarer Form auf: , und das gilt auch erst für (d.h. für gilt es nicht).


Im Induktionsschritt willst du ja gewiss nutzen, oder?

Die Induktionsvoraussetzung kann man auch so schreiben: Es gibt eine ganze Zahl mit . Nun quadriere das mal...
 
 
line32 Auf diesen Beitrag antworten »



geht das so?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von line32


Die letzte Umformung verkompliziert die Lage eigentlich nur. Ich hätte so umgeformt:

smile
line32 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay danke.
noch eine frage, wenn ich zeigen soll (für alle n größer gleich 3) kann ich das ja auch mit Induktion machen, aber ich muss ja auch irgendwie immer zeigen, dass die 2^(n-2) der kleinste Exponent ist für den die Kongruenz gilt verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wozu brauchst du dazu noch Induktion? Nutze doch direkt die eben bewiesene Aussage!

ist ein Teiler der Gruppenordnung , also auf jeden Fall irgendeine Zweierpotenz. Die obige Aussage um 3 Positionen verschoben lautet nun

für alle ,

d.h. es ist auf jeden Fall . Andererseits haben wir bei Verschiebung um 2

für alle ,

woraus folgt. Damit haben wir sofort zumindest für alle . Für kann man es aber auch noch per Einzelfallbetrachtung nachweisen.
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