Symmetrische Matrix A, B. Gilt 2*A*B*A=B*A*A+A*A*B?

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DaHans Auf diesen Beitrag antworten »
Symmetrische Matrix A, B. Gilt 2*A*B*A=B*A*A+A*A*B?
Meine Frage:
es sind die symmetrischen und invertierbaren Matrizen A und B gegeben. Alle Elemente a_ij und b_ij sind reell.

Gilt die Gleichung 2*A*B*A=B*A*A+A*A*B ???
wie lässt sich das beweisen?

Meine Ideen:
wenn A und B symmetrisch sind, dann gilt (A*B*A)^T=A*B*A, d.h. A*B*A ist symmetrisch. Durch paarweises transponieren von A und B bzw. B und A bin ich nicht zum Ziel gekommen. Auch erweitern mit A*A^-1 war erfolglos:-(
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man so eine Behauptung aufstellt, sollte man sie an nichttrivialen Beispielen testen. Hast du das getan?

Ich hab es getan, und bereits bei Dimension 2 mit ein einfaches Gegenbeispiel gefunden.
 
 
DaHans Auf diesen Beitrag antworten »

HAL 9000 hat recht, hätte ich testen sollen. Woher kommt die Frage:
Ziel ist es die zeitliche Ableitung des Logarithums einer zeitabängigen Matrix zu berechnen:

d(ln(U(t)))/dt=?

ich habe dazu die Potenzreihe von ln(U)=ln(E+(U-E))=ln(E+X) verwendet (E=Einheitsmatrix)
ln(E+X) = X - X*X/2-X*X*X/3...
und dann nach t abgeleitet:
d(ln(E+X))/dt=dX/dt - (X*dX/dt+dX/dt*X)/2+(X*X*dX/dt+X*dX/dt*X+dX/dt*X*X)/3...
Ziel ist es dX/dt auszuklammern:
2*d(ln(E+X))/dt=dX/dt*(E+(-X)+(-X)*(-X)...) + (E+(-X)+(-X)*(-X)...)*dX/dt
und dann die Geometrische Reihe für (...) zu verwenden: E/(E-X)=E+X+X*X...
das sollte mit X=U-E auf 0.5*(dU/dt*Uinvers+Uinvers*dU/dt) führen.
Diese Formel habe ich aus einem Buch und wollte sie herleiten.
Hat jemand eine Idee?

Kennt jemand die Herleitung für:
d(ln(U(t)))/dt=0.5*(dU/dt*Uinvers+Uinvers*dU/dt)
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Kleiner Tipp: es wird deutlich lesbarer, wenn du Latex verwendest und macht es wahrscheinlicher, dass du Hilfe erhälst.

Ich persönlich les' mir so einen Textwust gar nicht erst durch, weil ich der Meinung bin, dass die Zeit die ich brauche, um es auf ein Blatt Papier zu schreiben, damit es lesbar wird, auch vom Fragesteller hätte investiert werden können, um die Frage mit Latex zu schreiben. Das sehe ich nicht ein und helfe daher nicht.

Vielleicht erhälst du aber auch so Hilfe, das schließe ich mit meinem Hinweis nicht aus.
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