Induktion Beweis

13.06.2018, 17:10

user425

Induktion Beweis

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} k(k+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3} \end{eqnarray*}$

gilt für alle n E N

IA: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} k(k+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3} \end{eqnarray*}$

n=1: 2=2

IS: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} k(k+1)) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} k(k+1) = \sum\limits_{k=1}^{n} k(k+1) +\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)(n+2)}{3} 3 + (n+1)(n+2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)(n+2)}{3} + \frac{3( (n+1)(n+2) ) } {3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)(n+2)+3 (n+1)(n+2) }{3} \end{eqnarray*}$

Ich weiß nur leider nicht, wie ich weiter vorgehen soll, um die zusammenzufassen und Beweis zu erbringen? Könnt ihr mir bitte helfen? smile

13.06.2018, 17:51

mYthos

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Du kannst doch aus dem Zähler des letzten Bruches (n+1)(n+2) ausklammern, was bleibt dann in der Klammer? [Endergebnis: Die Formel für n --> n+1]

mY+

13.06.2018, 21:29

user425

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$\begin{eqnarray*} => \frac{n^{3} + 6n^{2} + 11n + 6}{3} <br /> \end{eqnarray*}$
Und wie gehe ich jetzt vor, muss ich das andere , was es zu beweisen gilt jetzt auch ausklammern? Oder wie wüdest du jetzt vorgehen?

13.06.2018, 22:03

Helferlein

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Mythos sagte ausklammern, nicht ausmultiplizieren.
Letzteres ist bei solchen Aufgaben die ungünstigste Vorgehensweise.

14.06.2018, 00:22

mYthos

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Beispiel: $\begin{eqnarray*} a\color{red}bc \color{black} + 3\color{red}bc \color{black} = \color{red}bc\color{black}(a + 3) \end{eqnarray*}$

mY+

14.06.2018, 09:34

user425

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Soll ich also wegstreichen wegklammern? z.B. durch (n+1)(n+2) teilen?

14.06.2018, 10:11

klarsoweit

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RE: Induktion Beweis
Du sollst nichts wegstreichen oder durch irgendwas teilen, sondern genau das machen, was schon gesagt wurde, nämlich aus

$\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)(n+2)+3 (n+1)(n+2) }{3} \end{eqnarray*}$

den Faktor (n+1)(n+2) ausklammern. mYthos hat es doch schon vorgekaut. Und wenn es dir hilft, schreibst du statt (n+1)(n+2) ein x. Dann hast du $\begin{eqnarray*} \frac{n \cdot x + 3 x}{3} \end{eqnarray*}$ . Jetzt klammere aus diesem Bruch das x aus. Das sollte ja wohl gehen, denn wir sind schließlich hier im Hochschulbereich.

14.06.2018, 10:40

user425

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RE: Induktion Beweis
Das ist doch wegstreichen, wenn man das Prodokt (n+1)(n+2) rausnimmt..

n(n+1)(n+2)+3(n+1)(n+2) / 3(n+1)(n+2) NR

= n+3 / 3

n/3 +1

Ist die Nebenrechnung(NR) und das Endergebnis korrekt?

14.06.2018, 10:50

klarsoweit

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RE: Induktion Beweis
Vielleicht meinst du unterm Strich das Richtige, aber so geht es nicht. Oder kannst du in $\begin{eqnarray*} \frac{5 \cdot 7 + 3 \cdot 7}{3} \end{eqnarray*}$ einfach mal die 7 wegstreichen? Oder alternativ einfach mal einen Faktor 7 in den Nenner reinmogeln? verwirrt

14.06.2018, 13:51

mYthos

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Ich frage mich allerdings nur, weshalb man in der Hochschulmathematik über solche Themen noch diskutieren muss!

mY+

14.06.2018, 14:30

klarsoweit

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RE: Induktion Beweis
Ich sehe gerade, daß sowohl diese Zeile:

Zitat:

Original von user425
IS: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} k(k+1)) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3} \end{eqnarray*}$

als auch diese Zeile:

Zitat:

Original von user425
= $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} k(k+1) = \sum\limits_{k=1}^{n} k(k+1) +\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3} \end{eqnarray*}$

als auch diese Zeile:

Zitat:

Original von user425
$\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)(n+2)}{3} 3 + (n+1)(n+2) \end{eqnarray*}$

auch schon vermurkst sind. Wobei am Ende der Rechnung eh nur hingeknallte Terme stehen und man sowie nicht weiß, was gleich wem sein soll. geschockt

14.06.2018, 16:41

user425

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Es geht eher um die Vorgehensweise, als über Produkte ausklammern!

15.06.2018, 08:20

klarsoweit

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Nun ja, auch bei der Vorgehensweise gibt es einige Defizite, wie du an meinem vorigen Beitrag erkennen kannst.

15.06.2018, 22:32

mYthos

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Damit dies hier nicht zu einer never ending story wird:

$\begin{eqnarray*} \text{IA: } \sum\limits_{k=1}^{n} k(k+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{IS: } n \ \to \ n+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} k(k+1) = \sum\limits_{k=1}^{n} k(k+1) + (n+1)(n+2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)(n+2)(n+3)} 3 = \frac{n(n+1)(n+2)} 3 + (n+1)(n+2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Rechte Seite:}= (n+1)(n+2)(\frac n 3 + 1) = \frac 1 3 (n+1)(n+2)(n+3) \ \to \ =\text{ linke Seite, w.z.z.w.} \end{eqnarray*}$

mY+

08.01.2019, 22:08

user425

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Sry ist zwar sehr lange her aber hast du das als linke Seite dargestellt oder nur als rechte Seite , die identisch mit der linken Seite ist dargestellt?

$\begin{eqnarray*} \text{Rechte Seite:}= (n+1)(n+2)(\frac n 3 + 1) = <b>></b> \frac 1 3 (n+1)(n+2)(n+3) \ \to \ =\text{ linke Seite, w.z.z.w.} \end{eqnarray*}$

EDIT: Komplettzitat entfernt (klarsoweit)

09.01.2019, 08:56

klarsoweit

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Die Schritte mit ein paar Erläuterungen:

Zitat:

Original von mYthos
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} k(k+1) = \sum\limits_{k=1}^{n} k(k+1) + (n+1)(n+2) \end{eqnarray*}$

Das ist nur eine simple Umformung, bei der aus der linken Summe der letzte Summand rausgezogen wurde.

Zitat:

Original von mYthos
$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)(n+2)(n+3)} 3 = \frac{n(n+1)(n+2)} 3 + (n+1)(n+2) \end{eqnarray*}$

Bekanntlich ist im Induktionsschritt zu zeigen, daß $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} k(k+1) = \frac{(n+1)(n+2)(n+3)} 3 \end{eqnarray*}$ gilt. Setzt man nun das sowie die Induktionsvoraussetzung (also $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} k(k+1) = \frac{n(n+1)(n+2)} 3 \end{eqnarray*}$ ) in die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} k(k+1) = \sum\limits_{k=1}^{n} k(k+1) + (n+1)(n+2) \end{eqnarray*}$ ein

kommt man zu $\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)(n+2)(n+3)} 3 = \frac{n(n+1)(n+2)} 3 + (n+1)(n+2) \end{eqnarray*}$ .

Die Gültigkeit dieser letzten Gleichung muß dann noch gezeigt werden. In einem Guß kann man die durchgeführten Schritte auch so zusammenfassen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} k(k+1) = \sum\limits_{k=1}^{n} k(k+1) + (n+1)(n+2) = \frac{n(n+1)(n+2)} 3 + (n+1)(n+2) = \frac{n(n+1)(n+2) + 3(n+1)(n+2)} 3 = \frac{(n+1)(n+2)(n+3)} 3 \end{eqnarray*}$

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