Abschätzung Gradient in Polarkoordinaten

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Falti Auf diesen Beitrag antworten »
Abschätzung Gradient in Polarkoordinaten
Meine Frage:
Wie begründet sich die Abschätzung

H' ist dabei H in Polarkoordinaten (r,phi) und w ist einfach die Transformation.
Meine Schwierigkeit ist folgende: Wenn ich den Gradienten in Polarkoordinaten in kartesische unwandle,
erhalte ich ja erstmal nur denselben Gradienten halt in kartesischen Koordinaten, was ja aber noch nicht der Gradient IN kartesischen Koordinaten ist. Wie komme ich also vom Polarkoordinaten-Gradienten zum kartesischen?

Meine Ideen:
Wäre schön wenn mir das jemand erklären kann! smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Falti
w ist einfach die Transformation.

Meinst du damit womöglich die Jacobi-Determinante der Transformation, die bei Integralumwandlungen gemäß Transformationssatz ja üblicherweise als Faktor im Integranden auftaucht ?

Das wäre bei der Polarkoordinatentransformation aber simpel . verwirrt

Ansonsten habe ich keine Ahnung, was du konkret mit meinen könntest, "einfach die Transformation" ist jedenfalls nicht sehr erhellend.


Was die Gradientenabschätzung betrifft: Es ist in Polarkoordinaten

,

mit Radius-Einheitsvektor und zugehörig Tangential-Einheitsvektor . Wegen folgt

,

und damit sofort

.
Falti Auf diesen Beitrag antworten »

Ich gehe vom allgemeinen n-dimensionalen Fall aus. Da hat man dann ja auch trigonometrische Terme in
der Jacobi-Determinante.
Deine Erklärung müsste sich aber trotzdem verallgemeinern lassen, oder?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Falti
Ich gehe vom allgemeinen n-dimensionalen Fall aus.

Das war deinen Bezeichnungen nicht unbedingt anzusehen. geschockt
Falti Auf diesen Beitrag antworten »

War auch kein Vorwurf Augenzwinkern
Gibt es denn einen ähnlichen Zusammenhang für den
allgemeinen Fall?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß jetzt nicht, was du unter -dimensionalen Polarkoordinaten verstehst - wahrscheinlich verlängert sich einfach nur das von Kugelkoordinaten her bekannte Prinzip zu



o.ä. Ja, ich denke mal, das klappt dann so ähnlich, wobei ich nicht zu sagen vermag, wie die einzelnen Komponenten des Gradienten dann aussehen werden - die von wird auf jeden Fall bleiben, und darauf kommt es hier ja an.
 
 
Falti Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke dir!
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