DGL mit Vektor

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14.06.2018, 15:32

fun4ever

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DGL mit Vektor

hallo alle zusammen , tipps für diese Aufgabe?

14.06.2018, 15:34

klarsoweit

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RE: DGL mit Vektor
Steht doch in der Aufgabe: stelle ein System erster Ordnung auf und bestimme Eigenwerte sowie Eigenvektoren. geschockt

14.06.2018, 15:52

fun4ever

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Passt der Ansatz?

Weiter ?

14.06.2018, 15:56

klarsoweit

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Na ja, daß das so nicht stimmt, sieht man schon leicht daran, daß links ein Vektor und rechts eine Matrix steht. Außerdem sollst du ein System erster Ordnung aufstellen. Dazu kannst du mal die Funktionen x_3 und x_4 einführen, wobei $\begin{eqnarray*} x_3 = \dot{x_1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_4 = \dot{x_2} \end{eqnarray*}$ ist.

14.06.2018, 16:03

fun4ever

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So besser

14.06.2018, 16:07

klarsoweit

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Nach wie vor gilt:

Zitat:

Original von klarsoweit
Na ja, daß das so nicht stimmt, sieht man schon leicht daran, daß links ein Vektor und rechts eine Matrix steht.

Da bist du anscheinend beratungsresistent. Ich schreibe dir mal die Gleichungen auf:

$\begin{eqnarray*} \dot{x_1} = x_3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \dot{x_2} = x_4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \dot{x_3} = 10x_1 + 4x_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \dot{x_4} = 9x_1 + 10x_2 \end{eqnarray*}$

Dazu mußt du nun die Matrix aufstellen. Diese wird dann noch mit dem Vektor (x_1, x_2, x_3, x_4) multipliziert.

14.06.2018, 17:28

fun4ever

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Nur x1 und x2 als Vektor oder?

Wieso auch noch x3 und x4 ?

Verstehe ich nicht

14.06.2018, 17:56

HAL 9000

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Zitat:

Original von fun4ever
Wieso auch noch x3 und x4 ?

Deshalb:

Zitat:

Original von klarsoweit
Außerdem sollst du ein System erster Ordnung aufstellen.

Du hast zweite Ableitungen in deinem System, die gilt es zu eliminieren. Und das geht nicht anders als durch Einführung neuer Komponenten, wie oben geschehen.

14.06.2018, 22:50

fun4ever

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Besser ?
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \dot{x_3} \\ \dot{x_4}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & 4 \\ 9 & 10 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

14.06.2018, 23:11

HAL 9000

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Nein, es geht um $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \dot{x_1} \\ \dot{x_2} \\ \dot{x_3} \\ \dot{x_4}\end{pmatrix} = A\cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit einer $\begin{eqnarray*} 4\times 4 \end{eqnarray*}$ -Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ . Das Gleichungssystem steht schon seit einer Weile oben da, es ist nur in die Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ (die, soviel darf ich verraten, einige Nullen enthält) umzusetzen.

15.06.2018, 00:26

fun4ever

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Jetzt ok?

15.06.2018, 08:10

klarsoweit

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Du bist echt beratungsresistent, das muß man schon sagen. unglücklich

HAL 9000 sagt dir, daß du eine 4x4-Matrix brauchst, und was für eine Matrix schreibst du?
Und wenn du mal deine Matrix mit dem dahinter stehenden Vektor multiplizierst, kommt keine einzige dieser Gleichungen raus:

Zitat:

Original von klarsoweit
$\begin{eqnarray*} \dot{x_1} = x_3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \dot{x_2} = x_4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \dot{x_3} = 10x_1 + 4x_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \dot{x_4} = 9x_1 + 10x_2 \end{eqnarray*}$

Zumindest diese Probe wäre ja mal machbar, bevor du hier von uns eine Bestätigung einholst. geschockt

15.06.2018, 09:29

HAL 9000

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Ich geb mal noch optisch einen deftigen Wink mit dem Zaunpfahl:

$\begin{eqnarray*} \dot{x_1} &=& &&&&&& x_3\\ \dot{x_2} &=& &&&&&&&& x_4\\ \dot{x_3} &=& 10&x_1 &+& 4&x_2\\ \dot{x_4} &=& 9&x_1 &+& 10&x_2 \end{eqnarray*}$

Ansonsten bin ich aber echt mit meinen Ideen am Ende, was man in diesem Punkt noch an Hilfestellung geben könnte. verwirrt

15.06.2018, 09:50

klarsoweit

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Nun ja, eins geht noch:

$\begin{eqnarray*} \dot{x_1} &=& 0 \cdot &x_1 &+& 0 \cdot &x_2& +& 1 \cdot &x_3&+& 0 \cdot &x_4 \\ \dot{x_2} &=& 0 \cdot &x_1&+& 0 \cdot &x_2&+& 0 \cdot &x_3&+& 1 \cdot &x_4\\ \dot{x_3} &=& 10 \cdot &x_1 &+& 4 \cdot &x_2&+& 0 \cdot &x_3&+& 0 \cdot &x_4 \\ \dot{x_4} &=& 9 \cdot &x_1 &+& 10 \cdot &x_2&+& 0 \cdot &x_3&+& 0 \cdot &x_4 \end{eqnarray*}$

17.06.2018, 01:30

fun4ever

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Wie geht es weiter?

17.06.2018, 19:08

fun4ever

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Seid ihr noch da Leute ?

Habe wieder mal Probleme mit dem nächsten Schritt Big Laugh

18.06.2018, 08:35

klarsoweit

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Immerhin hast du dich ja auch 2 Tage nicht gemeldet. Gestern habe ich mal Pause gemacht und bin ne Runde Dampfzug gefahren. smile

Nun denn, die korrekte Matrix hast du ja jetzt. Davon brauchst du nun die Eigenwerte und -vektoren.

18.06.2018, 09:33

fun4ever

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Wie komme ich denn hier genau auf die Eigenwerte ?

Normalerweise mache ich ja die Pq Formel

18.06.2018, 09:52

klarsoweit

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Und auf was wendest du die pq-Formal an? Hast du schon mal was vom charakteristischen Polynom gehört?

18.06.2018, 09:55

fun4ever

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Welches charakteristische Polynom bei dieser Aufgabe?

18.06.2018, 10:06

klarsoweit

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Und damit sind wir (wieder einmal) genau an dem Punkt, daß du absolut Null Basiswissen hast. Und zu diesem Basiswissen gehört eben auch, daß man weiß, wie man die Eigenwerte einer Matrix bestimmt. Das steht ja auch in der Aufgabe. Wie willst du eine derartige Aufgabe rechnen, wenn dir schlicht die Voraussetzungen fehlen?

19.06.2018, 19:10

fun4ever

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Ich muss ja glaub ich jetzt den Gauss Algorithmus anwenden oder ?

ne Idee wie ich da in der untersten Zeile 0 erzeugen kann ?

20.06.2018, 08:23

klarsoweit

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Du mußt erst mal das charakteristische Polynom der Matrix bestimmen. Die Eigenwerte sind die Nullstellen von diesem Polynom.

20.06.2018, 10:49

fun4ever

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Oh mann ich verzweifle gerade .

Kannst du mir bitte genauer erklären was ich machen soll?
Ich dachte Gauss anwenden und irgendwie die x1 usw ausrechnen ?

20.06.2018, 11:16

klarsoweit

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Also die Matrix A für dein DGL-System lautet:

$\begin{eqnarray*} A := \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 10 & 4 & 0 & 0 \\ 9 & 10 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das charakteristische Polynom ist die Determinante von der Matrix $\begin{eqnarray*} A - \lambda \cdot I \end{eqnarray*}$ (I ist die Einheitsmatrix). Also mußt du Determinante von der Matrix

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -\lambda & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -\lambda & 0 & 1 \\ 10 & 4 & -\lambda & 0 \\ 9 & 10 & 0 & -\lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ausrechnen.

(Warum du dies nicht weißt, bleibt dein Geheimnis. Du willst es uns ja nicht verraten.)

Hinweis: du mußt jetzt etwas Gas geben, denn in wenigen Tagen fahre ich in Urlaub. smile

20.06.2018, 14:56

fun4ever

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Wie lange fährst du in den Urlaub? Big Laugh

20.06.2018, 15:11

klarsoweit

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Wahrscheinlich bin ich nicht so lang in Urlaub, wie du brauchst, um die Aufgabe zu lösen. smile

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