Trigonometrie - Breite eines Flusses

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mathematix Auf diesen Beitrag antworten »
Trigonometrie - Breite eines Flusses
Hallo an alle,

ich versuche nun schon seit einiger Zeit das folgende Beispiel zu lösen, leider ohne Erfolg. Mir ist schon klar, dass ich rechtwinkelige Dreiecke bilden muss, aber ich komme einfach nicht weiter. Vielleicht kann mir ja von euch jemand helfen....


Drei Bäume A, B, C stehen an einem geradlinigen Flussufer je 100 m voneinander entfernt. Von einem Punkt P am anderen Flussufer werden die drei Bäume anvisiert und die Horizontalwinkel gemessen: 58,2 APB Grad und 32,2 BPC Grad . Berechnen Sie die Breite dieses Flusses

Vielen Dank schon einmal!!!

LG Peter
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Bezeichnungen (bekannt): , , ,

Bezeichnungen (unbekannt): , ,


Nun zu den Berechnungen:

Nach Sinussatz gilt und , der Quotient beider ergibt ,

dieses kann also aus sämtlich bekannten Größen berechnet werden. Weiterhin ergibt der Kosinussatz im Dreieck

,

das kann nach umgestellt werden. Was wir eigentlich suchen ist aber die Höhe auf im Dreieck , die erhalten wir über die Flächengleichheit



was umgestellt nach schlussendlich

unter Einsatz von (*)

bedeutet.
mathematix Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine schnelle Antwort!
Mir ist nur eine Sache nicht ganz klar. Wegen Sinussatz gilt a=ba*sin(beta)/sin(alpha). Das verstehe ich.

Müsste es bei c=bc*sin(beta)/sin(gamma) nicht statt beta eigentlich (180-beta) heißen? Ist ja der Gegenwinkel zu beta. Oder habe ich einen Denkfehler?
Danke
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mathematix
Müsste es bei c=bc*sin(beta)/sin(gamma) nicht statt beta eigentlich (180-beta) heißen? Ist ja der Gegenwinkel zu beta. Oder habe ich einen Denkfehler?

Gut mitgedacht, das ist tatsächlich der Winkel! Aus der Symmetrie der Sinusfunktion folgt allerdings , diese Begründung hätte ich oben vielleicht erwähnen sollen. Augenzwinkern
mathematix Auf diesen Beitrag antworten »

Hab den Fehler gefunden ;-)
mathematix Auf diesen Beitrag antworten »

Danke noch einmal - auf diese Lösung wäre ich nie alleine gekommen....
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Mal noch eine Skizze nachgereicht:

[attach]47462[/attach]

Es gibt durchaus zahlreiche Alternativwege, hab aber keinen gefunden, der echt wesentlich kürzer wäre als der obige - bei einigen sind noch quadratische Gleichungen involviert, usw.
mathematix Auf diesen Beitrag antworten »

DANKE!!!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Hab mal noch ein bisschen rumprobiert und eine interessante geschlossene Endformel für die Flußbreite gefunden: .

Für (wie hier im Thread) vereinfacht die sich zu .
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Hier mein Lösungsweg zu HALs Formel.

Ich lege HALs Figur in ein -Koordinatensystem, so daß auf der -Achse liegen und der Ursprung wird:



Jetzt der Faßkreis der Strecke zum Winkel :



Da der Ursprung auf dem Faßkreis liegt, steht rechts .

Entsprechend der Faßkreis der Strecke zum Winkel :



Auch hier darf man rechts schreiben, weil auf dem Faßkreis liegt.

Jetzt schneidet man die beiden Kreise. Von vorneherein ist klar, daß auf beiden Kreisen liegt. Zu bestimmen ist der -Wert des andern Schnittpunkts.

Subtraktion der beiden Kreisgleichungen ergibt nach Vereinfachen:



Aufgelöst nach :



Das setzt man zum Beispiel in der erste Kreisgleichung ein. Man erhält eine quadratische Gleichung in ohne konstantes Glied, da ja auf beiden Kreisen liegt. Man darf durch dividieren, da zum nicht interessierenden gehört, und erhält, wenn man nach auflöst und setzt:



Jetzt ersetzt man durch die obigen Ausdrücke in und erhält nach Kürzen HALs Formel.
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