Jede (nichtleere) Teilmenge von IN hat ein kleinstes Element, neuer Beweisversuch

15.06.2018, 01:31

Pippen

Jede (nichtleere) Teilmenge von IN hat ein kleinstes Element, neuer Beweisversuch

Mich interessiert, ob dieser Beweis (den ich mal nur skizziere) mathematisch in Ordnung ginge. Ich habe als Nichtmathematiker große Probleme die handelsüblichen Beweisskizzen zu verstehen, aber diese - von mir zusammengehämmerte - Skizze verstehe ich und frage mich, ob das halbwegs korrekt die Behauptung beweist.

Zitat:

Annahme: Sei A eine beliebige Teilmenge von IN ohne kleinstes Element.

(2) A = $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ würde die Annahme erfüllen.

(3) Wie steht es, wenn A nichtleer? 0 $\begin{eqnarray*} \notin \end{eqnarray*}$ A, weil 0 wg. PA1 das kleinste Element von IN schlechthin ist. Weiterhin gilt n $\begin{eqnarray*} \notin \end{eqnarray*}$ A -> n+1 $\begin{eqnarray*} \notin \end{eqnarray*}$ A, denn wenn n nicht in A, dann wäre n+1 als nächstgrößeres Element das neue kleinste Element in A, was per Annahme ausgeschlossen ist. Aus diesen beiden Erkenntnissen konstruieren wir jetzt eine Menge B, die all diejenigen natürlichen Zahlen enthalten soll, die A nicht enthalten kann und kommen auf: B = {n|n $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ IN & (0 $\begin{eqnarray*} \notin \end{eqnarray*}$ A und n $\begin{eqnarray*} \notin \end{eqnarray*}$ A -> n+1 $\begin{eqnarray*} \notin \end{eqnarray*}$ A)}. Per Induktion können wir jetzt beweisen, dass IN $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ B, d.h. B umfasst mindestens alle natürlichen Zahlen, was aber bedeutet, dass A leer sein muss, Widerspruch.

(4) Weil (3) zum Widerspruch führt, kann nur (2) gelten, d.h. nur die leere Menge hat als Teilmenge von IN kein kleinstes Element, bei allen anderen (nichtleeren) Teilmengen gilt das Gegenteil: sie haben ein kleinstes Element!

15.06.2018, 10:27

Guppi12

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Bis auf eine Kleinigkeit passt das so. Aus $\begin{eqnarray*} n\notin A \end{eqnarray*}$ folgt nicht $\begin{eqnarray*} n+1\notin A \end{eqnarray*}$ , das folgt nur aus $\begin{eqnarray*} 0\notin A, 1\notin A,...,n\notin A \end{eqnarray*}$

Das heißt, man muss die sogenannte starke Induktion verwenden.

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