Infimum berechnen durch Widerspruch

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15.06.2018, 10:37	makl	Auf diesen Beitrag antworten »
Infimum berechnen durch Widerspruch Auf ein neues Ich habe eine Menge und man muss Sup, Inf, Max und Min bestimmen. Das Sup habe ich schon. Max und Min wird easy. Das einzige ,was mir fehlt , ist das Inf. Aber die Vermutung ist ,dass das Inf = 0 ist, was auch stimmt. Da man aber jetzt ohne Beweis sagen ,dass 0 wirklich das Inf ist , muss man einen Beweis durch Widerspruch darlegen. Ich habe schon eine Ubgleichung aufgestellt ,aber man muss diese Ungleichung umformen, so dass x=y=2/d^2 >1 rauskommt. Egal, was ich tue ,ich kriege diese 2/d^2 >1 nicht raus. Ich habe das zig mal versucht und komm nicht weiter. Bild 1: Die Menge C und die Ungleichubg ,die man zum Widerspruch fphren soll. Bild 2: Einer meiner 666 Versuche Ich möchte nur wissen, wie diese Schmierblattrechnung funktioniert. Mir ist bewusst ,dass man das mit dem Grenzwert zeigen kann, aber ich möchte es so lösen ,wie im Buch. Blöderweise steht im Buch folgendes;“ Aber wie kommt man denn auf diese 2/d^2? Man muss doch eine Schmierblattrechnung tätigen. Stand ja auch auf dem Zettel ,dass man selber versuchen soll diese Schmierblattrechnung zu tätigen.“ Woher kommt jetzt aber urplötzlich dieses 2/ d^2 ? Dieses erhält man erst, wenn man zuvor eine ” Schmierblatt-Rechnung“ durchgeführt hat und bedenkt, dass wir ja einen Widerspruch konstruieren wollen. Probiert dies einmal!“ Ich will nur wissen ,wie diese Schmierblatzrechnung geht, da meine Schmierblattrechnung anscheinend falsch ist.“ Ich wäre euch echt sehr verbunden, wenn ihr mir diese Schmierblattrechnung mal vorrechnen und zeigen könntet, wie ich auf diese verdammte 2/d^2 >1 komme. Ich sitze seit 2 Wochen hier dran und niemand kann mir helfen.
15.06.2018, 10:51	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Infimum berechnen durch Widerspruch Leider ist deine Schreibweise mit den Wurzeln etwas mißverständlich. So, wie du $\begin{eqnarray} \frac{\sqrt{x+y}}{xy} \end{eqnarray}$ schreibst, könnte man es auch als $\begin{eqnarray} \sqrt{\frac{x+y}{xy}} \end{eqnarray}$ interpretieren. (Oder ist vielleicht sogar das letztere gemeint?) Außerdem ist mir beim Übergang von der 2. zur 3. Zeile nicht klar, wie im Zähler aus dem x+y ein (x+y)² wird. Auch der Übergang von der 4. zur 5. Zeile läßt Fragen offen.
15.06.2018, 10:58	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Man sollte wohl erstmal verstehen, was da überhaupt warum angesetzt wird bei dieser "Schmierblattlösung". Zweifelsohne ist 0 eine untere Schranke von $\begin{eqnarray} \frac{\sqrt{x+y}}{xy} \end{eqnarray}$ . Ich kann nur vermuten, dass hier per indirektem Beweis bewiesen werden soll, dass es keine untere Schranke $\begin{eqnarray} d>0 \end{eqnarray}$ gibt! () Auf dem Weg dahin finden sich auf deinem Scan aber jede Menge fehlerhafte Umformungen: Da wird in Teiltermen ohne jede Begründung plötzlich mal quadriert, und ähnlicher Unfug. Der Vogel abgeschossen wird beim Übergang von Zeile 4 zu 5 (auf dem neuen Blatt), wo allem Anschein nach $\begin{eqnarray} \sqrt{x^2+2xy+y^2} \stackrel{???}{=} x + \sqrt{2xy}+ y \end{eqnarray}$ umgeformt wird ... Weitere Analysen dieser Rechnung erübrigen sich, die kann komplett in die Tonne. Stattdessen gehe ich von Vermutung () aus, dann muss für alle $\begin{eqnarray} x\geq 1,y\geq 1 \end{eqnarray}$ die Ungleichung $\begin{eqnarray} d\leq \frac{\sqrt{x+y}}{xy} \end{eqnarray}$ gelten, speziell auch für $\begin{eqnarray} x\geq 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y=x \end{eqnarray}$ , das wäre $\begin{eqnarray} d\leq \frac{\sqrt{2x}}{x^2} = \sqrt{\frac{2}{x^3}} \end{eqnarray}$ , das kann man äquivalent umstellen zu $\begin{eqnarray} x\leq \sqrt[3]{\frac{2}{d^2}} \end{eqnarray}$ . Und damit haben wir einen Widerspruch: Es gibt keine solche Beschränkung für $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ nach oben, d.h., wählen wir $\begin{eqnarray} x=y> \sqrt[3]{\frac{2}{d^2}} \end{eqnarray}$ , dann unterschreitet $\begin{eqnarray} \frac{\sqrt{x+y}}{xy} \end{eqnarray}$ den Wert $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ , im Widerspruch zu dessen Eigenschaft als untere Schranke, fertig. EDIT: Oh, hatte nicht gesehen, dass klarsoweit auch schon geantwortet hatte, meine Antwort hat halt ein bisschen länger gedauert im Abfassen...
15.06.2018, 13:14	makl	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast jetzt einfach bei \frac{\sqrt{x+y} }{xy} die y'e mit x ausgetauscht ,so dass dann \frac{\sqrt{x+x} }{xx} rauskommt und dann noch einfach zsmgefasst, oder ? Eine Frage stellt sich mir aber dann noch. Im Buch ist die Rede von \frac{2 }{d^{2} } und das ist ja was anderes als \sqrt[3]{} \frac{2}{d^{2} } Und was mach ich falsch beim Formeleditor ? Hab geschrieben, ob du jetzt einfach die y'e mit x ausgetauscht hast, so dass dann halt wurzel aus x+x/x mal x rauskommt und dann halt zusammengefasst. Eine Frage stellt sich mir dann noch und zwar ist im Buch die Rede von 2/d^2 ,aber das ist ja nicht dasselbe wie dritte wurzel aus 2/d^2
15.06.2018, 13:19	makl	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier nochmal was ich genau meine und was ich halt versucht habe.
15.06.2018, 13:34	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist doch ganz ähnlich dem, was ich gemacht habe, auch die konstruieren ein Gegenbeispiel basierend speziell auf $\begin{eqnarray} x=y \end{eqnarray}$ . Der Unterschied ist, dass ich durch Umformung direkt auf $\begin{eqnarray} x> \sqrt[3]{\frac{2}{d^2}} \end{eqnarray}$ als Gegenbeispiel gekommen bin, während bei denen da ein $\begin{eqnarray} x=y=\frac{2}{d^2} \end{eqnarray}$ vom Himmel fällt. Der Wert tut es natürlich in Kombination mit dem Wissen um $\begin{eqnarray} d<1 \end{eqnarray}$ auch, denn dann ist $\begin{eqnarray} \frac{\sqrt{x+y}}{xy} = \frac{\sqrt{\frac{4}{d^2}}}{\frac{4}{d^4}} = \frac{d^3}{2} < d^3 < d \end{eqnarray}$ . Übrigens hätte es $\begin{eqnarray} x=y=\frac{2}{d} \end{eqnarray}$ wegen $\begin{eqnarray} \frac{\sqrt{x+y}}{xy} = \frac{\sqrt{\frac{4}{d}}}{\frac{4}{d^2}} = \frac{d\sqrt{d}}{2} < d\sqrt{d} < d \end{eqnarray}$ auch bereits getan, es gibt also keinen zwingenden Grund, dieses $\begin{eqnarray} x=y=\frac{2}{d^2} \end{eqnarray}$ zu wählen. Viele Wege klappen hier, du solltest dich also nicht auf den im Buch versteifen, sondern das nehmen, was du auch begreifst.
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18.06.2018, 15:06	makl	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurze Frage, ich versuche grad Wurzel aus 2/x^3 umzuformen zu x= 3.wurzel 2/d^2. Wie hast du das gemacht? Komm nicht drauf. Bin grad am probieren.:/
18.06.2018, 15:12	makl	Auf diesen Beitrag antworten »
Habs raus
18.06.2018, 15:55	makl	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Frage hätte ich dann doch noch. Du hast ja 2/d^2 in wurzel aus x+y/xy eingesetzt. Aber ich dachte wir mpssen die 3.wurzel von 2/d^2 einsetzen, also das was du rausbekommen hast.
18.06.2018, 17:08	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Zum wiederholten Male: Befreie dich von diesen "müssen, müssen, müssen" ! Was wir wollen ist, Beispielwerte für x,y angeben, deren Funktionswert dann den vorgegeben Wert $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ unterschreitet - man muss es also nicht genau treffen, es kann auch deutlich kleiner sein. Und da funktioniert eben sowohl $\begin{eqnarray} x=y>\sqrt[3]{\frac{2}{d^2}} \end{eqnarray}$ also auch $\begin{eqnarray} x=y=\frac{2}{d^2} \end{eqnarray}$ als auch $\begin{eqnarray} x=y=\frac{2}{d} \end{eqnarray}$ , die letzteren beiden aber unter der Zusatzbedingung $\begin{eqnarray} d<1 \end{eqnarray}$ - was keine wirklich einschränkende Bedingung ist, denn existiert irgendeine untere Schranke $\begin{eqnarray} d>0 \end{eqnarray}$ , dann auch eine mit der Eigenschaft $\begin{eqnarray} d<1 \end{eqnarray}$ , man kann das also ruhig fordern.

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