Gemeinsame Verteilung von Zufallsvariablen mit min/max-Funktionen

15.06.2018, 16:46	Likelike	Auf diesen Beitrag antworten »
Gemeinsame Verteilung von Zufallsvariablen mit min/max-Funktionen Ich würde gerne wissen ob der folgende Rechenweg zulässig und richtig ist: Gegeben sind Dichte- und Verteilungsfunktionen der voneinander unabhängigen Zufallsvariablen $\begin{eqnarray} A,B,D,E \end{eqnarray}$ und die Konstante $\begin{eqnarray} c > 0 \end{eqnarray}$ . Gesucht ist die gemeinsame Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray} F_{\mathbf{T}}(t_1,t_2) \end{eqnarray}$ des Zufallsvektors $\begin{eqnarray} \mathbf{T} = \begin{pmatrix} T_1 \\ T_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} <br /> T_1 = \max (D,\ A-c)<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> T_2 = \max (E,\ A+B-\max (c+D,A))<br /> \end{eqnarray}$ Berechnung: $\begin{eqnarray} F_{\mathbf{T}}(t_1,t_2) = P(\max (D,\ A-c) \leq t_1, \max (E,\ A+B-\max (c+D,\ A)) \leq t_2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = P(D \leq t_1,\ A-c \leq t_1,\ E \leq t_2,\ A+B-\max (c+D,\ A) \leq t_2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = P(D \leq t_1,\ A-c \leq t_1,\ E \leq t_2,\ A+B-c-D \leq t_2,\ A+B-A \leq t_2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = P(A \leq t_1+c,\ B \leq t_2,\ D \leq t_1,\ E \leq t_2,\ A+B-D \leq t_2+c) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \iint P\left(\left\{ A \leq t_1+c,\ B \leq t_2,\ D \leq t_1,\ E \leq t_2,\ A+B-D \leq t_2+c\right\} \| A=a,\ D=d \right) \cdot f_A(a) f_D(d) \dd a \dd d \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \iint P\left(a-c \leq t_1,\ B \leq t_2,\ d \leq t_1,\ E \leq t_2,\ B \leq t_2-a+c-d \right) \cdot f_A(a) f_D(d) \dd a \dd d \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \iint \sigma(t1-(a-c)) \cdot F_B(\min(t_2,t_2-a+c-d)) \cdot \sigma(t_1-d) \cdot F_E(t_2) \cdot f_A(a) f_D(d) \dd a \dd d \end{eqnarray}$ Sorry für so viele Zeilen (noch dazu weiß ich nicht wie eine align-Umgebung hier im board funktioniert ). Auch wenn sich vielleicht niemand alles im Detail durchlesen möchte, vielleicht kann mir jemand einen Tipp geben ob die prinzipielle Vorgangsweise mit der totalen Wahrscheinlichkeit so zulässig ist. Danke!
15.06.2018, 18:04	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Da ist ein gravierender Denkfehler bei der Ereignisumformung von der zweiten zur dritten Zeile zu beobachten: Es besteht mitnichten Ereignisgleichheit $\begin{eqnarray} \left\{ A+B-\max (c+D,\ A) \leq t_2 \right\} \stackrel{?}{=} \left\{ A+B-c-D \leq t_2,\ A+B-A \leq t_2\right\} \end{eqnarray}$ . Richtig ist $\begin{eqnarray} \left\{ A+B-\max (c+D,\ A) \leq t_2 \right\} \stackrel{!}{=} \left\{ A+B-c-D \leq t_2 \,{\color{red}\vee}\, A+B-A \leq t_2\right\} \end{eqnarray}$ , also logisches ODER statt UND. Offenkundig hast du das Minuszeichen vor diesem $\begin{eqnarray} \max \end{eqnarray}$ nicht gebührend beachtet.
18.06.2018, 12:51	Likelike	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo HAL, danke fürs Durchlesen und die Korrektur! Der Reparaturversuch: $\begin{eqnarray} P(D \leq t_1,\ A-c \leq t_1,\ E \leq t_2,\ A+B-\max (c+D,\ A) \leq t_2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =P(D \leq t_1,\ A-c \leq t_1,\ E \leq t_2,\ \min(A+B-c-D,\ B) \leq t_2)\qquad () \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(\min(A+B-c-D,\ B)\leq t_2) \end{eqnarray}$ könnte man ja weiter umschreiben zu $\begin{eqnarray} 1-P(A+B-c-D>t_2,\ B>t_2) \end{eqnarray}$ , aber dann habe ich in $\begin{eqnarray} () \end{eqnarray}$ zwei ineinander verschachtelte Wahrscheinlichkeiten. Um das zu vermeiden möchte ich auf $\begin{eqnarray} () \end{eqnarray}$ den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit anwenden, mit dem Ziel dass sich die gesamte Wahrscheinlichkeit so anschreiben lässt, dass sie in einzelne Faktoren zerfällt: $\begin{eqnarray} P(D \leq t_1,\ A-c \leq t_1,\ E \leq t_2,\ \min(A+B-c-D,\ B) \leq t_2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \iint P(\{ D \leq t_1,\ A-c \leq t_1,\ E \leq t_2,\ \min(A+B-c-D,\ B) \leq t_2 \}\|A=a,B=b) \cdot f_A(a) f_B(b) \dd a \dd b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \iint P(D \leq t_1,\ a-c \leq t_1,\ E \leq t_2,\ a+b-c-D \leq t_2,\ b \leq t_2) \cdot f_A(a) f_B(b) \dd a \dd b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \iint F_D(t_1) \cdot \sigma(t_1 - (a-c)) \cdot F_E(t_2) \cdot (1-F_D(a+b-c-t_2)) \cdot \sigma(t_2-b) \cdot f_A(a) f_B(b) \dd a \dd b \end{eqnarray*}$ Ist das zulässig?
18.06.2018, 13:51	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hätte ja zunächst eher an $\begin{eqnarray} P(V\cup W)=P(V)+P(W)-P(V\cap W) \end{eqnarray}$ gedacht, im Kontext hier dann $\begin{eqnarray} P(D \leq t_1,\ A-c \leq t_1,\ E \leq t_2,\ \min(A+B-c-D,\ B) \leq t_2) =&& P(D \leq t_1,\ A-c \leq t_1,\ E \leq t_2,\ A+B-c-D \leq t_2) + P(D \leq t_1,\ A-c \leq t_1,\ E \leq t_2,\ B \leq t_2) \\ &&- P(D \leq t_1,\ A-c \leq t_1,\ E \leq t_2,\ A+B-c-D \leq t_2,\ B \leq t_2) \end{eqnarray}$ Ist nicht schön, das irgendwie auf das Dreifache aufgebläht zu haben, aber was will man machen.
19.06.2018, 10:46	Likelike	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die ausführlichen Antworten! Eine Frage habe ich noch zur Berechnung der letzten Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray} P(D \leq t_1,\ A-c \leq t_1,\ E \leq t_2,\ A+B-c-D \leq t_2,\ B \leq t_2)<br /> \end{eqnarray}$ , bzw. um Schreibarbeit zu ersparen reduziere ich das auf eine kürzeres Bsp.: $\begin{eqnarray} \mathbf{X} = \begin{pmatrix} X_1 \\ X_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} X_1, X_2 \end{eqnarray}$ voneinander unabhängig, $\begin{eqnarray} \mathbf{Y} = \begin{pmatrix} X_1 \\ X_2 \\ X_1+X_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Gesucht ist $\begin{eqnarray} F_\mathbf{Y}(y_1,y_2,y_3) \end{eqnarray}$ . Bei der Transformation von $\begin{eqnarray} \mathbf{X} \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} \mathbf{Y} \end{eqnarray}$ ist das Problem ja die Abhängigkeit der $\begin{eqnarray} Y_i \end{eqnarray}$ . Mein Ansatz wäre z.B. $\begin{eqnarray} F_\mathbf{Y}(y_1,y_2,y_3) = \int P(X_1 \leq y_1, x_2 \leq y_2, X_1+x_2 \leq y_3) f_{X2}(x_2) \dd x_2 \end{eqnarray}$ , was man dann nach weiterer Zusammenfassung berechnen könnte. Gibt es für die Berechnung von $\begin{eqnarray} F_\mathbf{Y}(y_1,y_2,y_3) \end{eqnarray}$ noch einen anderen (praktikablen) Weg?
19.06.2018, 11:02	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, sieht vernünftig aus: Es ist also $\begin{eqnarray} F_\mathbf{Y}(y_1,y_2,y_3) = \int P(X_1 \leq y_1, x_2 \leq y_2, X_1+x_2 \leq y_3) f_{X_2}(x_2) ~ \dd x_2 = \int\limits_{-\infty}^{y_2} P(X_1 \leq y_1, X_1 \leq y_3-x_2) f_{X_2}(x_2) ~ \dd x_2 = \int\limits_{-\infty}^{y_2} \int\limits_{-\infty}^{\min(y_1,y_3-x_2)} f_{X_1}(x_1) f_{X_2}(x_2) ~ \dd x_1 ~ \dd x_2 \end{eqnarray}$ So ähnlich müsste man es dann also auch bei deinen Termen aufdröseln: Man hat durch die diveresen linearen Ungleichungen also irgendein polyedrisches Integrationsgebiet vorliegen, welches man irgendwie in den Griff bekommen muss.
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19.06.2018, 11:11	Likelike	Auf diesen Beitrag antworten »
Besten Dank HAL für die Antworten! Das hat mir schon mal ein ganzes Stück weitergeholfen!

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