Borel-Sigma-Algebra auf R

16.06.2018, 14:05

Haki12

Borel-Sigma-Algebra auf R

Ich soll zeigen, dass für alle $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ die Intervalle

$\begin{eqnarray*} (-\infty , a], (-\infty , a), (a,b) , (a,b] , [a,b) , [a,b] , (a, \infty) , [a, \infty) \end{eqnarray*}$

in $\begin{eqnarray*} \mathcal B_1 \end{eqnarray*}$ enthalten sind.

Es wäre nett, wenn jemand das für eines der Intervalle vorzeigen könnte, bwz. wenn jemand mir einen Tipp geben könnte, wie ich es anstellen soll.

$\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$

16.06.2018, 15:28

HAL 9000

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Für diesen Beweis ist ganz entscheidend, wie ihr $\begin{eqnarray*} \mathcal B_1 \end{eqnarray*}$ definiert habt, d.h., auf Basis welchen Erzeugendensystem, denn abhängig davon "baut" man deine genannte Zielmengen dann zusammen.

17.06.2018, 11:07

Haki.12

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In der Vorlesung werden $\begin{eqnarray*} \sigma-Algebren \end{eqnarray*}$ definiert. In einem Beispiel werden $\begin{eqnarray*} Borel-\sigma-Algebren \end{eqnarray*}$ folgendermaßen eingeführt:

$\begin{eqnarray*} \Omega=\mathbb R^n, C \end{eqnarray*}$ sei die Familie, der nach links halboffenen Intervalle. $\begin{eqnarray*} \mathcal B_n=\sigma(C) \end{eqnarray*}$ heißt $\begin{eqnarray*} Borel-\sigma-Algebren \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ .

Das heißt doch, dass z.B. $\begin{eqnarray*} (-\infty,a] \in \mathcal B_1 \end{eqnarray*}$ nach Definition und folglich das Komplement, also $\begin{eqnarray*} (a,\infty) \in \mathcal B_1 \end{eqnarray*}$ , oder?

17.06.2018, 13:54

HAL 9000

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Zitat:

Original von Haki.12
$\begin{eqnarray*} \Omega=\mathbb R^n, C \end{eqnarray*}$ sei die Familie, der nach links halboffenen Intervalle.

[...]

Das heißt doch, dass z.B. $\begin{eqnarray*} (-\infty,a] \in \mathcal B_1 \end{eqnarray*}$ nach Definition

Vom Text her würde ich "nach links halboffene Intervalle" eher als die Gesamtheit aller Intervalle $\begin{eqnarray*} (a,b] \end{eqnarray*}$ mit reellen $\begin{eqnarray*} a<b \end{eqnarray*}$ deuten - kläre bitte mal genau, was nun gemeint ist (vielleicht/hoffentlich ist es auch mit Formeln untersetzt).

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