Hauptraumzerlegung

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Trisaster Auf diesen Beitrag antworten »
Hauptraumzerlegung
Guten Abend,

Ich habe bzgl. der Hauptraumzerlegung ein kleines Problem:

Sei K ein Körper ein endl. erzeugter K-VR und ,
mit irreduzibel normiert und paarweise verschieden, das Minimalpolynom von A.
Setzte ferner .
Wir haben die Haupträume dann durch
definiert.

Mein Problem liegt in der letzteren Gleichheit.

Mir ist klar: ,
woraus schonmal folgt,
an der anderen Inklusion scheitere ich jedoch verwirrt

Freue mich wie immer über Hilfe und Ansätze smile

Viele Grüße
Trisaster
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

zunächst: Es müsste richtigerweise heißen.
Bzw. man macht sich das Leben von der Notation her grundsätzlich leichter, wenn man einfach eine Faktorisierung mit paarweise teilerfremden und normierten Polynomen annimmt.
Aber bleiben wir bei deiner Notation.

Wenn man korrekt (wie oben) definiert, sind und teilerfremd und man findet im Polynomring Polynome und mit (Euklidischer Algorithmus).
Im Endomorphismenring über (bzw. hier dem Matrixring über ) ergibt dies dann die Identität . Damit kann man die umgekehrte Inklusion zeigen.
Trisaster Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
zunächst: Es müsste richtigerweise heißen.

Das stimmt natürlich, habe mich hier vertippt, aber gut das es dir aufgefallen ist Freude

An den erw. Euklid habe ich auch schon gedacht, aber war wohl zu blöd damit dann den letzten schritt zu gehen Hammer

Nachdem ich das nun nochmal betrachte komme ich auf:

Ist und , die Einheitsmatrix, so folgt mit der von dir beschriebenen Identität:

,

da ,

also , wobei letzte Inklusion daraus folgt, dass A-invariant ist.

Da bel. war folgt damit

Stimmt das soweit ? smile

Viele Grüße
Trisaster
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Sieht gut aus.
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