Endliche Körper Multiplikationstafel

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mathematiker511 Auf diesen Beitrag antworten »
Endliche Körper Multiplikationstafel
Meine Frage:
Hi,

schreibe die Multiplikationstabelle für
, wobei f ein Polynom ist.

Meine Ideen:
Die Mulitplikationstabelle würde ich wohl ausfüllen können, aber ich weiss nicht welche Elemente in
sind. Ist das F dann F_1={0} oder was soll dann
sein?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ein irreduzibles Polynom ist, dann ist der Restklassenring ein Körper und wird als -Vektorraum erzeugt von .
Um zu rechnen musst du bezüglich und konkreter werden.
 
 
mathematiker511 Auf diesen Beitrag antworten »

f ist in der Tat ein irreduzibles Polynom. Bezüglich habe ich aber keine weiteren Informationen. Nur das

Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Dann ist entweder oder . Vermutlich sollst du die Mutiplikationstabelle eines über seinem Primkörper aufschreiben. Dazu wählst du ein irreduzibles Polynom vom Grad 3 und faktorisierst .
mathematiker511 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe und dann muss ich mir jetzt anschauen welche Reste bei 1/ entstehen können? Das wären dann die Elemente aus F_8?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Die Elemente sind die Reste mod , also die Reste bei der Polynomdivision mit . Ich habe es dir aber schon leichter gemacht, denn ich habe gesagt, dass eine -Basis von ist. Man faktorisiert nach , also ist ein Element der Nullklasse, also ist , also ist
mathematiker511 Auf diesen Beitrag antworten »

Also sind die Reste von 1/(x^2 +1) , x/(x^2 +1) und x^2 /( x^2 +1) die Elemente der Multiplikationstafel?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, ist eine Basis der Reste. Die Reste sind die 8 Elemente mit . Warum sonst sollte der sonst die 8 in seinem Namen haben ? Die 8 Restklassen sind dann mit .
mathematiker511 Auf diesen Beitrag antworten »

Also wären die Elemente der Multiplikationstafel dann: {0, 1, x, x+1, x^2 +1, x^2, x^2 + x+1, x^2 +x} und diese Elemente multiplizieren wir dann miteinander. Wäre dann zum beispiel (x+1)^2= x^2 +1 mod f ? Ich bin mir nicht sicher wie ich mod d zu verstehen habe.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, wenn man den "Faktorring an sich" verdaut hat, darf man das so schreiben. Seine Elemente sind Restklassen, so wie ich es ausführlich geschrieben habe.

Damit man nicht die Unbestimmte und die Restklasse miteinander verwechselt, nimmt man sich gern ein "erzeugendes Element" aus einem Zerfällungskörper über mit der Eigenschaft , also . Ein solches Element muss es geben, da in einem Zerfällungskörper über jedes Polynom aus in Linearfaktoren zerfällt, also auch , und ist dann eben eine Nullstelle von .

Wegen ist nun offenbar
und z.B.
und z.B.

Wie gesagt, wenn man das verstanden hat und keine Verwechslungsgefahr besteht, schreibt man dann auch einfach . (Und schon wissen wir, was in der Multiplkationstabelle in Zeile und Spalte stehen muss.)
mathematiker511 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke ich habe den Faktorring noch nicht wirklich durchdringen können..bei x^2 * x^2 hätte ich x^4 geschrieben, wie kommt man auf die x^2 +x +1?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

In der Zeile darüber habe ich das vorgerechnet, da steht statt . Du musst meine Erklärungen lesen, wenn du etwas verstehen willst. Im Restklassenkörper gibt es keine Potenzen von , die größer als sind, das erreicht man gerade dadurch, dass bereits durch eine kleinere Potenz dargestellt wird. Der Witz ist immer wieder derselbe: ist der Grad des Polynoms gleich , so ist eine Basis des Restklassenkörpers (oder Restklasssenrings, wenn reduzibel).

Du kannst auch auf de Definition zurückgehen und durch dividieren. Modulo 2 bleibt dabei genau der Rest , so wie es sein muss. Man spart sich gerne die umständlichere Polynomdivision indem man die üblichen Rechenregeln im Körper (oder Ring) ausnutzt.
mathematiker511 Auf diesen Beitrag antworten »

okay danke, ich denke ich habe es jetzt:
ist dann zum beispiel:


Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Freude Die Rechnung stimmt, und du weißt, das das nur eine symbolische Schreibweise ist, die man auf mindestens drei verschiedene Arten (Reste, Restklassen, primitive Elemente) korrekt durchführen kann. Die billigste Art ist vielleicht, überall Querstriche darüber zu malen, denn das ist eine weitere Symbolik für Restklassen ( habe ich oben auch schon einmal verwendet).
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