Lösungsmenge eines inhomogenen LGS

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Lilly. Auf diesen Beitrag antworten »
Lösungsmenge eines inhomogenen LGS
Meine Frage:
Hallo smile
In meinem Skript steht, das:
allgemeine Lösung des inhomogenen Systems = spezielle Lösung des inhomogenen Systems + Lösung des dazugehörigen homogenen Systems.
Nun zu meiner Frage:
Sagen wir ich hab als Lösung des homogenen Systems den Vektor (1,2,3)
und als spezielle Lösung des inhomogenen Systems den Vektor (4,5,6)

Um jetzt die allgemeine Lösung zu bestimmen:

Muss ich diese beiden Vektoren nur addieren ?

d.h. die allgemeine Lösung wäre dann (1+4, 2+5, 3+6) also (5,7,9) ??

Oder verstehe ich das komplett falsch?

Meine zweite Idee wäre das beides nochmal in ein LGS zu schreiben und zu addieren sprich:
x1*v1+...+xn*vn=b
y1*v1+...+yn*vn=0

also eingesetzt
1*(v1)+2*(v2)+3*(v3)=b
4*(v1)+5*(v2)+6*(v3)=0

b wäre dann halt irgendeine Zahl.

Über Hilfe würde ich mich wirklich freuen smile

LG Lilly

Meine Ideen:
Ideen stehen oben
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die Lösungsmenge eines homogenen LGS ist nicht ein Vektor sondern ein Untervektorraum, nämlich der Kern einer linearen Abbildung.
Lilly. Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, die Bezeichnung Vektor war falsch.
Nun nochmal zu meiner Frage, wenn ich im homogenen LGS
als Beispiel x1=1, x2=2, x3=3 als Lösung erhalte, kann ich dafür ja auch schreiben
X=(1,2,3).
Bei der speziellen Lösung des homogenen Systems genauso
Da hatte ich ja als Beispiellösung (4,5,6).
Wie erhalte ich jetzt die allgemeine Lösung des inhomogenen Systems??
muss ich die beiden da nur aufaddieren.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast meine Antwort nicht verstanden. X=(1,2,3) kann niemals die Lösungsmenge eines homogenen LGS sein, denn das ist ein Vektor und kein Vektorraum.
Lilly. Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, das wusste ich nicht.
Okay, also dann ich die Lösung des homogenen Systems jetzt beispielsweise x1=1, x2=2, x3=3.
Die spezielle Lösung des inhomogenen y1=4, y2=5, y3=6

Aber wie komme ich jetzt auf die allgemeine Lösung des inhomogenen Systems?? traurig verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

So nicht. Ein Vektor ist kein Vektorraum. Die Lösung eines homogenen LGS ist niemals (1,2,3). Niemals, auch nicht beispielsweise. Auch nicht beispielsweise x1=1, x2=2, x3=3. Niemals !
 
 
sixty-four Auf diesen Beitrag antworten »

Der Vektor kann wohl Lösung des homogenen Systems sein, aber niemals die allgemeine Lösung. Eine Eigenschaft eines Vektorraumes ist, dass mit auch Element des Vektorraums sein muss. Also ist die allgemeine Lösung dann , wobei eine spezielle Lösung des inhomogenen Systems ist.
Lilly. Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt bin ich total verwirrt.
Ein homogenes LGS ist doch immer lösbar, zur not mit der trivialen Lösung.
Wieso sollte die Lösung nicht 1,2,3 sein?

Und könntest du mir erklären wie ich dann auf die allgemeine Lösung eines inhomogenen LGS komme?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die Lösungsmenge eines homogenen LGS ist ein UVR, niemals ein Vektor. Ein Element einer Menge ist eine Element einer Menge, ein Element einer Menge ist keine Menge. Ein Baum ist ein Element eines Waldes, ein Baum ist kein Wald.
Lilly. Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal zu dem Satz:

allgemeine Lösung des inhomogenen Systems = spezielle Lösung des inhomogenen Systems + Lösung des dazugehörigen homogenen Systems.

Kann mir da vielleicht jemand ein Beispiel geben, oder allgemein erklären wie ich die allgemeine Lösung des inhomogenen Systems bekomme.

Ich weiß wie ich ein homogenes LGS löse und auch wie ich ein inhomogenes LGS löse.
Aber was mache ich mit diesen Ergebnissen um die allgemeine Lösung des inhomogenen LGS zu bekommen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die "allgemeine Lösung" eines inhomogenen LGS ist "eine spezielle Lösung des inhomogenen LGS" (das ist ein Vektor ) + "die allgemeine Lösung des zugehörigen homogenen LGS" (das ist der Kern einer linearen Abbildung, also ein Untervektorraum, also ein Vektorraum, also eine Menge ). Die "allgemeine Lösung" eines inhomogenen LGS ist also die Nebenklasse nach dem Kern einer linearen Abbildung, das ist .
Lilly. Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, so ganz habe ich es noch nicht verstanden
ich habe jetzt:
- die spezielle Lösung des inhomogenen Systems (also einen Vektor) und
- allgemeine Lösung des homogenen Systems (=Menge)

Aber wie schreibt man das beides als allgemeinen Lösung des inhomogenen LGS auf?


Schreibe ich dann einfach :
allgemeine Lösung des inhomogenen Systems = Vektor den ich rausbekommen habe von der speziellen Lösung + Menge (Lösung des homogenen Systems)
ohne das weiter zusammenzufassen ?
Oder kann beziehungsweise muss ich da noch was zusammenrechnen ?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

ist die allgemeine Lösung des inhomogenen LGS. Ich dachte, die Summennotation für Objekte und Mengen sei bekannt.
Man nennt das Komplexsumme. Für Mengen und , in denen man addieren kann, ist .
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