Gleichmäßige Konvergenz

17.06.2018, 11:47	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichmäßige Konvergenz Hallo, Habe ich folgende Aufgabe richtig bearbeitet? $\begin{eqnarray} f_n(x)=\frac{nx}{1+nx^2} \end{eqnarray}$ im Intervall $\begin{eqnarray} (0,\infty) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (1, \infty) \end{eqnarray}$ 1. Punktweise Konvergenz $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{1}{x} \end{eqnarray}$ im Intervall $\begin{eqnarray} (1, \infty) \end{eqnarray}$ und bei $\begin{eqnarray} (0, \infty) \end{eqnarray}$ zusätzlich $\begin{eqnarray} =0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ . 2. Gleichmäßige Konvergenz $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \sup_{x\in D} \|\frac{nx}{1+nx^2}-\frac{1}{x}\|=\|\frac{1}{nx^3+x}\| \leq \|\frac{1}{n+1}\| \to 0 \end{eqnarray}$ D.h es besteht gleichmäßige Konvergenz im Intervall $\begin{eqnarray} (1,\infty) \end{eqnarray}$ , aber nicht in $\begin{eqnarray} (0,\infty) \end{eqnarray}$ , da die Funktion an der Stelle $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ nicht stetig ist. Kann man das so machen? Danke
17.06.2018, 12:20	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Konvergenz zu 1. Deine Funktionenfolge ist in x=0 nicht definiert, wie soll sie dort punktweise konvergieren? Der Rest ist richtig. zu 2. Wegen 1. ist deine Begründung für $\begin{eqnarray} (0,\infty ) \end{eqnarray}$ falsch. Für $\begin{eqnarray} (1,\infty ) \end{eqnarray}$ liegst du aber richtig
18.06.2018, 16:58	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich danke dir
18.06.2018, 18:24	Matt Eagle	Auf diesen Beitrag antworten »
Betrachte mal $\begin{eqnarray} f_n(0) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f_n\left(\frac 1n\right) \end{eqnarray}$ .

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