K[t]-Modul

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FelNa1109 Auf diesen Beitrag antworten »
K[t]-Modul
Hallo, ich hab Probleme mit der Aufgabe hier:

Sei ein Körper, ein -dimensionaler -Vektorraum und ein Endomorphismus. ist ein -Modul mit für .

(a) Zeigen Sie die Äquivalenz von (i) und (ii):

(i) Es gibt ein unitäres Polynom mit als -Modul.
(ii) Es gibt ein zyklisches Erzeugendes von , d.h. erfüllt

(b) Zeigen Sie, dass für die Endomorphismen, die (i), (ii) erfüllen, gilt: .


(c) Nun sein und (i) und (ii) sollen gelten. Geben Sie (mit Beweis) eine Basis von an, sodass die Matrix von zu dieser Basis ein einziger Jordanblock mit Eigenwert ist.


zur Erinnerung:
() Das Minimalpolynom von ist das unitäre Erzeugende des Ideals .
() teilt das charakteristische Polynom von (Satz von Cayley-Hamilton)


Meine Ideen:
Ich bin ehrlich - ich habe keinen Plan! Ich hänge an dieser Aufgabe schon seit Stunden und hab keinen Wirklichen Ansatz (außer das man halt die Eriunnerung verwenden muss) Ich wäre schon für einen Denkanstoß sehr dankbar. Dankeschön smile
FelNa1109 Auf diesen Beitrag antworten »

zur (a)Aussage (i), hatte ich bis jetzt nur folgende Überlegung:

wenn wir jetzt dieses so haben und als Modul isomorph zum Faktorring ist, müsste doch sein.

Also

Da unitär ist, gilt mit , wobei da Endomorphismus.


mit , also insgesamt:

 
 
FelNa1109 Auf diesen Beitrag antworten »

Wirklich keiner eine Idee? unglücklich
FelNa1109 Auf diesen Beitrag antworten »

Mir will ja anscheinend niemand helfen, dann probier ichs halt einfach weiter...




Nach Voraussetzung besitz jedes eine Darstellung mit , also insbesondere auch das Element ( ist Endmorphismus und führt daher nicht aus raus) Also gilt:



Umstellen liefert

mit


Erhalten so ein unitäres Polynom , welches in Null wird. Wie ich jetzt die Isomorphie zeige weiß ich nicht, bzw. ich weiß das ich einen Isomorphismus finden muss, hab aber wenig Plan welchen.


Erste Idee die mir dazu kommt, ist wahrscheinlich, das ich ja als diese direkte Summe darstellen kann. Und der Faktorring enthält ja Polynome vom Grad kleiner n. Ich könnte ja die Abbildung gemäß der Skalarmultiplikation definieren (also den Endomorphismus in einsetzen) und würde in landen. Dann müsste ich "blos" zeigen das das bijektiv und homomorph ist.


Also so meine ich das, aber k.A. ob das geht. Sei :



mit Umkehrabbildung:

Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Gestern ab 17:00 hat Deutschland gegen Mexiko gespielt und 0:1 verloren (Fußball-WM). Da hatte niemand Zeit für Moduln. Vielleicht bekommst du Antwort, wenn wir uns von dem Schock erholt haben - das kann aber noch ein wenig dauern.
FelNa1109 Auf diesen Beitrag antworten »

Oha, das wusste ich nicht... Aber mit meiner Modul Aufgabe komme ich trotzdem nicht weiter...
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Ich skizziere mal einen Weg - kann sein, dass das viel zu umständlich ist, ich bin kein Algebrix
(i) (ii): Der -Modulisomorphismus, nennen wir ihn , ist insbesondere ein K-Vektrorraum-Isomorphismus. Äquivalenzklassen der Monome bilden also eine VR-Basis des Faktorrings. Deren Urbilder unter sind dann eine Basis von V, die das gewünschte leistet.
(ii) (i): Dein scheint mir vernünftig. Jetzt hat man eine Basis in V gegeben und wieder die VR-Basis im Faktorring wie oben und definiert damit als VR-Isomorphismus. Jetzt muss man noch zeigen, dass das ein -Modulhomomorphismus ist (Bijetktivität hat man ja schon)
FelNa1109 Auf diesen Beitrag antworten »

Idee zur (b)

Nach (i) ist , sowie nach Definition und wegen Cayley-Hamilton auch


Ideal. Da Vektorraum ist und so gilt wegen (ii) auch




Also sind die Polynome gleich?? -.-
FelNa1109 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi, danke fürs antworten. Kannst du mir noch verraten, warum wir die Bijektivität schon haben?
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V und der Faktorring haben als Vektorraum Dimension n und die lineare Abbildung ist so definiert, dass sie eine Basis auf eine Basis abbildet, ist also surjektiv und damit injektiv
FelNa1109 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ist das überhaupt definiert? ?
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Im Grunde ja, oder expliziter
FelNa1109 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke dir. Ich denke damit werd ich bei der a) weiter kommen. Dann muss ich mich noch an die b) und c) setzen unglücklich
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