Bezierkurve Viertelkreis

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Flambo Auf diesen Beitrag antworten »
Bezierkurve Viertelkreis
Meine Frage:
Hallo,

ich hab mich für ein Seminar Thema entschieden, das ich mit meinem Partner zusammen mache und zwar ist das Thema Bezierkurven. Wir studieren Mechatrokik und wollen das in Maple ein wenig modellieren, stoßen aber schon beim Verständnis auf Probleme.

http://www-lehre.inf.uos.de/~cg/2010/PDF/cg-2010-04-27.pdf


[attach]47505[/attach]

Betreffende Seite als Bild eingefügt. Steffen

Dort auf Seite 12. Wie kommt man auf den Wert von x? Was haben Sinus und Cosinus von 45 Grad damit zu tun? Wie sich Seite 13 zusammenstellt ist klar.

Meine Ideen:
Ich wollte das erst mit dem Algorithmus von DeCasteljau machen mit t=1/2, aber mit der Unbekannten x komme ich nicht weiter. Ansonsten fällt mir nicht viel ein, außer dass Sinus und Cosinus vielleicht etwas mit Ankathete/Gegenkathete zu tun haben und 45 Grad, weil das die Hälfte von 90 Grad ist. "Stumpfes" Einsetzten in P(t) bekomme ich 4/3 raus..

Danke im Vorraus für jeden Denkanstoß!
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bezierkurve Viertelkreis
Aus den Angaben auf Seite 12 schließe ich, es sollten die Koordinaten der beiden mittleren Kontrollpunke so bestimmt werden, dass sie

a) waagrecht neben bzw. senkrecht über liegen
b) symmetrisch zur Winkelhalbierenden im ersten Quadranten liegen

Dann sind ihre Koordinaten schon mal und .

c) Die Bezierkurve mit diesen Kontrollpunkten an der Stelle auf der Mitte des Viertelkreises liegt. Die Mitte des Viertelkreises hat die Koordinaten .

Damit ergibt die Bestimmungsgleichung für , die simpel lösbar ist. Merkwürdig ist allerdings, das der angegeben Wert für ungenau ist. Ich komme auf



Für den Unterschied habe ich keine Erklärung.
 
 
Flambo Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwort!

Du hast Recht, so ist die Aufgabenstellung. Ich hab auch alles verstanden bis auf das Ergebnis von x, die du als simpel beschrieben hast. Setzte ich statt P(t) jetzt (cos(45,sin(45)) ein und für das t auf der rechten Seite der Gleichung 0,5? Bekomme ich 2 Gleichungen oder ist das eine? Weil das, was ich bisher mir damit errechnet habe, kommt deinem Ergebnis nicht nah
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Du bekommst zwei Gleichungen, denn Du hast ja einen zweielementigen Vektor.

Die erste Gleichung lautet z.B.

Jetzt?

Viele Grüße
Steffen
Flambo Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

dann habe ich mich vertippt im Taschenrechner oder sonst was. Denn genau so sieht meine Gleichung aus.

Diese lautet dann bei mir: 3/8 * x + 3/8 + 1/8 = cos (45°)
Die zweite lautet: 1/8 + 3/8 + 3/8 * x = sin (45°)

Ich weiß, wo der Fehler liegt.. glaube ich. Der Taschenrechner war falsch eingestellt. LOL Hammer

Ich könnte jetzt für verschiedene P's verschiedene Koordikaten kriegen und dementsprechend eine Näherung zum Orginalen Kreis bekommen, richtig?

Ich habe ihn nämlich gerade in Maple geplottet und es funktioniert auch. Jetzt steht in meinem Buch, wo dasselbe Beispiel ist (und auch 0.552285 steht und nicht wie in der PDF die andere Zahl), dass diese Bezier-Kurve vom Kreis maximal um 0.00027 abweicht. Wie kommt man auf diese Zahl?

Vielen Dank nochmal!!
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Flambo
Ich habe ihn nämlich gerade in Maple geplottet und es funktioniert auch. Jetzt steht in meinem Buch, wo dasselbe Beispiel ist (und auch 0.552285 steht und nicht wie in der PDF die andere Zahl), dass diese Bezier-Kurve vom Kreis maximal um 0.00027 abweicht. Wie kommt man auf diese Zahl?

Gute Frage. Vielleicht hat man die Abweichungen einfach in kleinen Abständen numerisch bestimmt. Zuerst wäre aber zu klären, wie man die Abweichung definiert, als Betrag der Differenz der y-Koordinaten oder irgendwie anders?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab's mal ausprobiert: das ist die maximale Abweichung des Bezier-Radius von Eins. Lässt sich auch analytisch berechnen, indem man die beiden Terme für die Koordinaten pythagoräisch addiert, die Ableitung Null setzt und somit das Maximum findet.

Viele Grüße
Steffen
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Steffen Bühler
Ich hab's mal ausprobiert: das ist die maximale Abweichung des Bezier-Radius von Eins.

Das ist ein sehr vernünftiges Maß für die Abweichung von der Kreislinie.
Flambo Auf diesen Beitrag antworten »

Ah okay.

Hätte zum Abschluss noch zwei Verständnisfragen grundsätzlich zur Modellierung.

Ich hab jetzt am Anfang Freiformkurven erstellt, indem ich in Maple "stumpf" irgendwelche Punkte eingesetzt habe und geschaut habe, wie die Bezierkurve verläuft. Meist waren es kubische Kurven. So habe ich mal den Buchstaben "C" oder "S" geplottet.

Dann kam das mit dem Viertelkreis, wo man ja konkret Punkte hat und welche errechnet. In meinem Buch steht auch, dass man Bezierkurven für den Zeichenentwurf verwenden kann. Also richtig perfekt mit glatten Verläufen und auch Ecken mit über 10 Kurven.

[attach]47511[/attach]

Wie ist dort der Ansatz? Probieren? Ich hatte schon Probleme damit, das "einfache" S mit den passenden Punkten zu plotten, da muss es hier auch doch einen rechnerischen Weg geben, oder?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist wohl das Geheimnis eines guten Typographen, wo die Anfasser- und Ankerpunkte einer Glyphe liegen müssen, damit die Schrift "schön" aussieht. Hier verlassen wir allerdings die Mathematik.

Viele Grüße
Steffen
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Hilfreich dürften Programme sein, bei denen man die Kontrollpunkte in der Graphik verschieben kann und dann sofort die geänderte Bezierkurve sieht.
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