untergruppen |
| 04.09.2004, 15:57 | octopussy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| untergruppen wie mach ich das? 
|
||||||||
| 04.09.2004, 17:21 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Die einzige Untergruppe der Ordnung 1 ist natürlich die Gruppe, die nur aus dem neutralen Element besteht. Da 2 und 3 Primzahlen sind, sind Untergruppen von diesen Ordnungen zyklisch. Jetzt starte mit einer beliebigen Permutation und bilde die Potenzen . Beim Exponenten 2 oder spätestens beim Exponenten 3 erhältst du wieder . Die verschiedenen Permutationen, die du so erhältst, bilden deine erste Untergruppe. Und dann nimmst du eine zweite Permutation , die noch nicht vorgekommen ist, und betrachtest deren Potenzen. So erhältst du deine zweite Untergruppe. Und so fährst du fort, bis alle sechs Permutationen aufgebraucht sind. |
||||||||
| 04.09.2004, 17:47 | octopussy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
die ordnung von untergruppen kenn ich nciht ich weiß nur soviel: unter einer Untergruppe der S3 versteht man eine Teilmenge M aus S3 sodass für alle x,y aus M gilt: x o y und x-1 sind auch aus M kannst dus mir vielleicht erklären indem ich das verwend?
|
||||||||
| 04.09.2004, 18:40 | SirJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Erstmal vorneweg: Dir sollte bekannt sein (schon vorher oder ab jetzt), dass jede Untergruppe selbst eine Gruppe ist. Alles was du über Gruppen weißt, kannst du also auf Untergruppen anwenden. Die Ordnung einer Untergruppe U ist die übliche Bezeichnung für die Anzahl der Elemente der Untergruppe U, geschrieben als |U| oder #U. Jede Untergruppe muss das neutrale Element e enthalten (bei der S3 ist es die identische Permutation), daher enthält eine Untergruppe der Ordnung 2 genau zwei Elemente: das neutrale Element, e, und ein anderes, a. Was kommt heraus, wenn du dieses Element a mit sich selbst verknüpfst, also a o a bildest? Da es in der Untergruppe liegen muss, muss entweder e oder a herauskommen. Kann es a sein? (Bedenke, dass diese Untergruppe selbst eine Gruppe ist.) Eine ähnliche Überlegung kannst du für Untergruppen der Ordnung 3 anstellen: Die müssen aus dem neutralen Element e und zwei anderen, a und b, bestehen. Vielleicht kennst du schon die einzige Gruppentafel für eine Gruppe mit 3 Elementen, wenn nicht, kannst du sie dir herleiten, indem du dich fragst, wie die Verknüpfungen a o a, a o b, b o a und b o b aussehen müssen, um die Gruppenaxiome zu erfüllen. Du wirst feststellen, dass a o a = b und a o b = e sein muss. Das bedeutet aber, dass diese Gruppe aus den Elementen a, a o a und a o a o a besteht. Diese Gruppe nennt man deshalb zyklisch. Die Gruppen mit 2 Elementen sind übrigens auch zyklisch (besteht aus a und a o a). Die von dir gesuchten Untergruppen sind also alle zyklisch, und wie man zyklische Untergruppen findet, hat Leopold erklärt. Gruss, SirJ |
||||||||
| 04.09.2004, 19:53 | octopussy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ich habs mal versucht: untergruppen mit einem element: neutrales element mit 2 elementen: neutrales element + eine der anderen 6 permutationen mit 3 elementen: gibts keins
stimmts?
|
||||||||
| 04.09.2004, 20:18 | Brynn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nein, es gibt schon eine Untergruppe der Ordnung 3. Nimm mal ein Element a der S_3, das nicht invers zu sich selbst ist und auch nicht das neutrale Element ist. Berechne mal a o a und a o a o a. Dann sollte dir etwas auffallen. Gruss, Brynn |
||||||||
| Anzeige | ||||||||
|
|
||||||||
| 04.09.2004, 20:25 | octopussy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
hab ich keines gefunden *schäm*
ich versuchs nochmal und meld mcih dann und stimmt der rest? |
||||||||
| 04.09.2004, 20:33 | Brynn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja. Warum ist es denn die einzige?
Nein. Wie SirJ schrieb, muss die Verknüpfung dieses anderen Elementes mit sich selbst entweder das neutrale Element oder dieses andere Element selbst ergeben. Auf welche der anderen 5(!) Permutationen trifft das zu? Hinweis: Es gibt 3 Untergruppen der Ordnung 2.
Siehe oben. Hinweis: Es gibt genau eine Untergruppe der Ordnung 3. Grüsslis, Brynn |
||||||||
| 04.09.2004, 20:43 | octopussy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
so mit 3 elementen gibts eine untergruppe und die müsste sein: (1,2,3) (2,3,1) (3,1,2) und mit 2 elementen müsstens die sein wo ein element zu sich selbst invers ist neutrales element +(1,3,2) +(2,1,3) +(3,2,1) stimmts? |
||||||||
| 04.09.2004, 20:45 | Brynn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja. Alles richtig. 
|
||||||||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
|
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
|
