Nicht triviales LGS lösen

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Photon Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht triviales LGS lösen
Guten Tag,

ich komme bei dem folgenden Problem nicht weiter:

Ich weiß das folgende Identität gilt:




Über eine längere Rechnung konnte ich zeigen, dass y auch dargestellt werden kann als




Ich würde gerne eine Beziehung zwischen den Variablen oder Parameter in (1) und (2) aufstellen, also z.B. in Abhängigkeit von darstellen.


Aus (1) und (2) folgt automatisch das es sich um LGS mit vier Gleichungen a=e, f=b, .... handelt . Mein erster Ansatz wäre, dass LGS auf drei Gleichungen zu reduzieren indem man den Zähler und Nenner z.B. durch f teilt. Danach komme ich nicht mehr so recht weiter, meine Rechnung wird unübersichtlich weil ich nicht sehe, wie man systematisch an das Problem rangehen soll. Habe leider auch keine Algebra-Programme.

Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Photon
Aus (1) und (2) folgt automatisch das es sich um LGS mit vier Gleichungen a=e, f=b, .... handelt .

Das stimmt so nicht: Du kannst nur folgern, dass es eine reelle Zahl mit gibt - Stichwort "Kürzen".

Damit sieht die Sache schon runder aus: Vier Gleichungen für vier gesuchte Variablen .
Photon Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Damit sieht die Sache schon runder aus: Vier Gleichungen für vier gesuchte Variablen


Oh je, dabei hatte ich schon mit drei Gleichungen Probleme. Gibt es ein kostenloses Algebra-Programm oder eine gute systematische Herangehensweise wie ich die gesuchten finden kann?

Aus der Oberstufe weiß ich noch, dass man das ganze in eine Matrixschreibweise überführen kann und diese wird anschließend in Stufenform gebracht. Aber ob das so zielführend ist, bei den ganzen Rechenfehlern die sich da einschleichen werden^^
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Photon
Oh je, dabei hatte ich schon mit drei Gleichungen Probleme.

Saublöde Reaktion: Statt sich zu freuen, dass dadurch überhaupt erstmal eine Chance besteht, dass das Gleichungssystem überhaupt lösbar ist (deins ist es i.a. nicht), jammerst du rum. unglücklich


Zu Fuß (!) komme ich auf als Lösung der quadratischen Gleichung , und weiter in der Rücksubstitution

.

Alles ohne Gewähr, vielleicht habe ich mich irgendwo vertan.
Photon Auf diesen Beitrag antworten »

Mir war davor gar nicht klar, dass das Gleichungssystem in meiner dargestellten Variante nicht lösbar war. Jetzt ist mir auch klar, was du mit

Zitat:
Damit sieht die Sache schon runder aus: Vier Gleichungen für vier gesuchte Variablen .


meintest.


Könntest du mir "grob" erklären, wie du vorgegangen bist um zu schauen ob ich auf das selbe Ergebnis wie du komme.



Das sieht ja schon mal vielversprechend aus. Kann man daraus schon irgendwie schließen, ob es wirklich lösbar ist?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst mal bin ich ein schreibfauler Mensch, ich kürze daher ab sowie (ACHTUNG, anders als oben) es sei so dass , dann besteht das Gleichungssystem



Nun addieren/subtrahieren wir zu jeder Zeile das -fache einer bestimmten anderen Zeile:



(1')*(4')=(2')*(3') ergibt die Bestimmungsgleichung für , während (2')/(4') sowie (3')/(4') dann darauf aufbauend die Gleichungen für ergeben.


Zitat:
Original von Photon
Kann man daraus schon irgendwie schließen, ob es wirklich lösbar ist?

Das steht und fällt mit der (reellen) Lösbarkeit der genannten quadratischen Gleichung. Die kannst du dir ja mal noch genauer anschauen, ob sich da weitere Erkenntnisse ergeben, wenn du die konkreten Werte einsetzt, d.h. die, die sich in ergeben.

Die Auflösung nach passenden Winkeln ist bei einmal ausgerechneten doch kein Problem mehr, arctan lässt grüßen.
 
 
Photon Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, vielen Dank für die Erklärung bzw. deiner Hilfe!
Photon Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Hal9000,

ich wollte nochmal eine etwas andere Variante ausprobieren.

Gegeben war







Anstatt von dieser Relationen auszugehen, teilt man den Zähler und Nenner in (I) durch , analog für (II) wo durch geteilt wird (es wird natürlich angenommen, dass c,g ungleich 0 sind) und erhält:








Wenn ich von ausgehe erhält man das Gleichunssystem




Ich wollte schauen ob ich auf die selbe Lösung wie davor kommen, jedoch tue ich mir schwer dabei das Gleichungssystem zu lösen. Könntest du mir bitte erklären, wie ich vorgehen müsste?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei diesem Zugang benötigst du kein , bzw. es ist :

Du hast das ganze ja bereits passend "normiert", indem du das im Nenner allein gestellt hast!

Allerdings weiß ich nicht, was du dir davon jetzt versprichst: Das kommt letzten Endes wieder auf dasselbe hinaus wie oben, ist also substanziell keine andere Variante.
Photon Auf diesen Beitrag antworten »

Woran erkennst du, dass genau das gleiche rauskommt? In dem jetzigen Gleichungssystem ist t=1, davor war es noch beliebig.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Dieses t hat mit dem t oben nur den Symbolnamen gemein, sonst nichts.

Zitat:
Original von Photon
Woran erkennst du, dass genau das gleiche rauskommt?

Strafe mich doch Lügen, und berechne es so das was anderes rauskommt, auf total anderem Weg. Das wäre ja sowieso angemessen, da du dich ja unbedingt getrieben fühlst, das Fass nochmal aufzumachen - anscheinend ist dir die Lösung oben ja nicht gut genug. Aber mach es selbst, ich werde dich bei dieser (in meinen Augen) sinnlosen Beschäftigungstherapie nicht unterstützen.

-----------------------------

Nochmal deutlich: Wenn ich ausgehend von

Zitat:
Original von HAL 9000

die Gleichungen (1)(2)(4) jeweils durch (3) teile, dann bekomme ich

,

also genau dein Gleichungssystem ohne dein . Ok, es ist eine Gleichung weniger, und auch eine Variable weniger, weil durch die Divisionen eliminiert wurde. Aber ich sehe nicht, inwieweit der weitere Fortgang jetzt dadurch einfacher gestaltet werden kann. M.E. hat man sich nur eine hässliche Quotientenstruktur links geschaffen.
Photon Auf diesen Beitrag antworten »

Der Grund warum ich etwas anderes ausprobieren wollte, war die wegen der quadratischen Gleichung



welches die Lösung



hat (wenn ich mich nicht verrechnet habe). Der Ausdruck lässt sich nicht mehr vereinfachen. Wenn ich anschließend die Rücksubstitution mache



erhalte ich einen Ausdruck denn ich ebenfalls nicht großartig vereinfachen kann. Die Lösung sollte aber eigentlich eine kompakte Form annehmen für .

Deswegen habe ich versucht nochmal anders an das Problem ran zugehen. Aber wie du bereits sagtest komme ich auf die exakt selbe Lösung.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Photon
Die Lösung sollte aber eigentlich eine kompakte Form annehmen für .

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