Integration über Polstellen

18.06.2018, 18:32

Daniel444

Integration über Polstellen

Hallo,
Kann man auch auf diese Weise über Polstellen integrieren? Das Ergebnis stimmt, aber ist der Ansatz zulässig?

Zum Beispiel das bestimmte Integral $\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1} \log(x) \ dx \end{eqnarray*}$

Der Definitionsbereich seien die reelen Zahlen. Der Wertebereich soll die komplexen Zahlen mit einschließen. Bekannt ist dass log(x) bei x=0 eine Polstelle hat. Weiter lege ich den log(x) für negative reelle Zahlen -r fest als

$\begin{eqnarray*} \log-r=\log ri^{2} = \log r + i\pi \end{eqnarray*}$

und nähere mich von links und rechts an die Polstelle an, und spalte damit das Integral, einmal mit der unteren Grenze -1 und der oberen Grenze $\begin{eqnarray*} \frac{-1}{n} \end{eqnarray*}$ , und mit der unteren Grenze $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ und der oberen Grenze 1, für $\begin{eqnarray*} n\to \infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1}\log(x) \ dx = \lim_{n \to \infty} \int_{-1}^{-\frac{1}{n}} \log(x) \ dx + \ \lim_{n \to \infty} \int_{\frac{1}{n}}^{1} \log(x) \ dx \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \log(x) \ dx = x\log(x) - x + C \end{eqnarray*}$ erhalte ich dann

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \int_{-1}^{-\frac{1}{n}} \log(x) \ dx = \ \lim_{n \to \infty}\left[ -\frac{1}{n}\log\left(-\frac{1}{n}\right) +\frac{1}{n} + C \right] - \left[-\log(-1) +1 + C \right] = \ \lim_{n \to \infty}\left[-\frac{1}{n}\log(-1) + \frac{1}{n}\log(n) +\frac{1}{n} + C \right] + \log(-1) -1 - C = \ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\log(n) + \log(-1) -1 = log(-1) -1 \end{eqnarray*}$

mit
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\log(n) = \ \lim_{n \to \infty} \log(n^{\frac{1}{n}}) = \log(n^{0}) = \log(1) = 0 \end{eqnarray*}$

und dann

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \int_{\frac{1}{n}}^{1} \log(x) \ dx = \left[ \log(1) -1 + C \right] - \lim_{n \to \infty} \left[ \frac{1}{n}\log\left( \frac{1}{n} \right) - \frac{1}{n} + C \right] = -1 \end{eqnarray*}$

In der Summe erhalte ich dann

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1}\log(x) \ dx = \lim_{n \to \infty} \int_{-1}^{-\frac{1}{n}} \log(x) \ dx + \ \lim_{n \to \infty} \int_{\frac{1}{n}}^{1} \log(x) \ dx = \log(-1) - 1 -1 = i\pi -2 \end{eqnarray*}$

Das funktioniert auch für andere Integrale, z.B. für

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{2} \log(x-1) dx = \ \lim_{n \to \infty } \int_{-1}^{1-\frac{1}{n}} \log(x-1) \ dx \ + \ \lim_{n \to \infty } \int_{1+\frac{1}{n}}^{2} \log(x-1) \ dx = 2\log(-2) -3 = 2\log(2) -3 +2\pi i \end{eqnarray*}$

mit Polstelle x=1

18.06.2018, 19:02

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Einiges an der Rechnung ist nicht ganz koscher: Z.B. gilt $\begin{eqnarray*} \int \log(x) ~ \dd x = x\log(x)-x+C \end{eqnarray*}$ so erstmal nur für $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ , während du es auch für $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ anwendest. (*)

1) Ok, man kann funktionentheoretisch argumentieren: Wenn man ein Gebiet wählt, das die negative Achse enthält und einen dazu passenden holomorphen Logarithmuszweig $\begin{eqnarray*} \log^* \end{eqnarray*}$ auf diesem Gebiet, dann ist tatsächlich dort

$\begin{eqnarray*} [z\log^*(z)-z]' = \log^*(z) \end{eqnarray*}$

Das ist allerdings NICHT der übliche Hauptzweig des Logarithmus, denn bei dem liegt die negative Achse am Rand und damit nicht mehr im (offenen!) Gebiet, wo wir die komplexe Differenzierbarkeit nur betrachten.

2) (Nahezu) rein reell geht es so: Man benötigt nur die Kenntnis $\begin{eqnarray*} \log(x)=\log(-x)+i\pi \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ , dann kann man

$\begin{eqnarray*} \int \log(x) ~ \dd x = \int (\log(-x)+i\pi) ~ \dd x = x\log(-x)-x + i\pi x + C \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$

mit den "rein reellen" Kenntnissen begründen, mit Integralen für jeweils Real- und Imaginärteil.

02.07.2018, 19:50

Daniel444

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgabe besteht übrigens darin Stammfunktionen mit Hilfe von bekannten Ableitungen und Ableitungsregeln und dem Hauptsatz der Integralrechnung, zu raten/folgern. Zusätzlich soll noch in den Fällen, wo es exisitiert, das bestimmte Integral in den Grenzen von -1 bis 1 berechnet werden. Der Defintionsbereich soll dabei, sofern nicht eingeschränkt, die reellen Zahlen sein.

Im Falle dieses Integrals kann ich in der Aufgabenstellung keine Einschränkung erkennen.

Die Frage ist ob also dieses bestimmte Integral unter diesen Voraussetzungen überhaupt exisitiert. Ich bin geneigt zu sagen Nein, da ja der log(x) in den reellen Zahlen nur für positive reelle Zahlen definiert ist. In Wikipedia steht dazu

"In den reellen Zahlen ist der Logarithmus für nichtpositive Zahlen, also Null und negative Zahlen, nicht definiert. ..... In der Funktionentheorie, in der Funktionen von komplexen Zahlen betrachtet werden, kann man den Logarithmus auch für negative Zahlen definieren (siehe Komplexer Logarithmus), allerdings gelten dann einige der Rechenregeln nicht mehr. Auch in diesem Zusammenhang ist 0 keine isolierte Singularität, sondern ein Verzweigungspunkt."

Mir geht es doch erst einmal um das Aufgabenverständnis, aber auch um die Lösung im komplexen Zahlenbereich, ist auf jeden Fall interessant.

03.07.2018, 08:04

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Daniel444
Ich bin geneigt zu sagen Nein, da ja der log(x) in den reellen Zahlen nur für positive reelle Zahlen definiert ist.

Was soll man dazu sagen: Da machst du erst ellenlange Rechnungen zur Integration des Logarithmus auf Intervallen negativer reeller Zahlen, um dann jetzt im letzten Beitrag zu sagen: "Alles Quatsch, da der Logarithmus negativer reeller Zahlen nicht definiert ist". Wenn sowieso klar ist, dass du nur den reellen Logarithmus betrachten willst, wozu dann die ganze Rechnung, und überhaupt auch der Thread hier? Erstaunt1

07.07.2018, 00:47

Daniel444

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Es Ist alles in Ordnung, hier ist nichts Quatsch oder umsonst, denn:

Zitat:

Original von Daniel444
...
Mir geht es doch erst einmal um das Aufgabenverständnis, aber auch um die Lösung im komplexen Zahlenbereich, ist auf jeden Fall interessant.

Nochmal die Aufgabenstellung:
Die Aufgabe besteht darin auf geeigneten Intervallen Stammfunktionen zu raten / zu folgern, mit Hilfe von Ableitungen, Ableitungsregeln und dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung. Zusätzlich soll man in den Fällen, wo es existiert, das bestimmte Integral $\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1} f(x) \ dx \end{eqnarray*}$ der gegebenen Funktion berechnen.

Im Skript gibt es eine kleine Tafel mit Funktionen und ihren Stammfunktionen. Darin ist die Stammfunktion zu $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ für positive reelle Zahlen als $\begin{eqnarray*} \log(x) \end{eqnarray*}$ und für negative reelle Zahlen als $\begin{eqnarray*} \log|x| \end{eqnarray*}$ definiert.
Dazu heisst es:
"Damit erhalten wir sofort die bestimmten Integrale der links in der Tabelle stehenden Funktionen über kompakte Intervalle im Definitionsintervall der Stammfunktion (auf $\begin{eqnarray*} \mathbb {R} \end{eqnarray*}$ definiert, sofern kein kleineres Definitionsintervall angegeben ist)." <<< Diese Passage hatte ich zu Beginn falsch gelesen, was zu diesem Thread führte.

Ein paar Seiten weiter finde ich dann für mich noch deutlicheres:
"Beim Typ $\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \frac1{x} \ f ( \log x ) \ dx \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} x \longmapsto \ F(\log x) \end{eqnarray*}$ eine Stammfunktion des Integranden wenn $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ Stammfunktion zu $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist und Integrationsintervalle in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}_{> \ 0} \end{eqnarray*}$ betrachtet werden. Bei Integranden vom Typ $\begin{eqnarray*} \frac1{x} \ f ( \log |x| ) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} x \longmapsto \ F(\log |x|) \end{eqnarray*}$ Stammfunktion auch auf Intervallen in $\begin{eqnarray*} \mathbb {R}_{< \ 0} \end{eqnarray*}$ "

Demnach existiert das bestimmte Integral $\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1} \log (x) \ dx \end{eqnarray*}$ nicht, da das Integrationsintervall nicht im Definitionsintervall $\begin{eqnarray*} \mathbb {R}_{> \ 0} \end{eqnarray*}$ der Stammfunktion liegt, sogar nicht einmal im Definitionsbereich des Integranden. So weit mein Textverständnis. Siehst du das auch so

Danke

Und wenn das geklärt ist kümmere ich mich wieder um die Frage warum dieses bestimmte Integral dennoch lösbar ist, was den Threadtitel mit einschließt

07.07.2018, 08:11

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

[attach]47630[/attach]

12.07.2018, 20:00

Daniel444

Auf diesen Beitrag antworten »

Klar, im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{2} \end{eqnarray*}$ hat log(x) für negative reelle Zahlen keinen Graphen, und damit auch keine Fläche zwischen Graph und x-Achse die man berechnen kann. Wenn Derive dennoch ein Ergebnis ausgibt muss ich selbstverständlich mein Aufgabenverständnis überprüfen.

Ich schaue mir gerade das Thema "Uneigentliche Integrale" bei Wikipedia, an, animiert durch eure Beiträge, und denke das Thema zum großen Teil verstanden zu haben. Falls ich noch Fragen habe kann ich sie hier hoffentlich stellen. Danke

Neue Frage »

Antworten »

Integration über Polstellen

Verwandte Themen