Tschebyscheff-Quadratur mit n=2 Stützstellen

19.06.2018, 12:40

Mimi123

Tschebyscheff-Quadratur mit n=2 Stützstellen

Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich habe hier eine Aufgabe die ich gelöst habe aber ich weiß nicht ob das richtig ist.
Aufgabe: Lösen Sie $\begin{eqnarray*} \int_{1}^{2} \! \frac{1}{x} \, dx \end{eqnarray*}$
mit der Tschebyscheffschen Formel für 2 Stützstellen.

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1} \! f(x) \, dx=A\sum\limits_{k=0}^{n} f(x_{k} ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{0}= \frac{1}{\sqrt{2} }, x_{1}=0, x_{2}=-\frac{1}{\sqrt{2} } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \widetilde{x_{0} } =\frac{6+\sqrt{2} }{4}, \widetilde{x_{1} } =\frac{3}{2}, \widetilde{x_{2} } =\frac{6-\sqrt{2} }{4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A=\frac{2}{3}, \widetilde{A}=\frac{1}{3} , \frac{1}{3}*\sum\limits_{k=0}^{3} f(x_{k})=\frac{1}{3}*(f(\widetilde{x_{0}})*f(\widetilde{x_{1}})*f(\widetilde{x_{2}}) )=0,693 \end{eqnarray*}$
Dafür habe ich die angehängten Definitonen benutzt.

19.06.2018, 12:55

klarsoweit

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RE: Tschebyscheff-Quadratur mit n=2 Stützstellen
Müßte nicht bei 2 Stützstellen das n gleich 1 sein? verwirrt

Außerdem:

Zitat:

Original von Mimi123
$\begin{eqnarray*} A=\frac{2}{3}, \widetilde{A}=\frac{1}{3} , \frac{1}{3}*\sum\limits_{k=0}^{3} f(x_{k})=\frac{1}{3}*(f(\widetilde{x_{0}})*f(\widetilde{x_{1}})*f(\widetilde{x_{2}}) )=0,693 \end{eqnarray*}$

Das mit A und $\begin{eqnarray*} \widetilde{A} \end{eqnarray*}$ habe ich nicht verstanden. Obendrein läuft die Summe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^3 f(x_{k}) \end{eqnarray*}$ bestenfalls bis k=2 und es ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \cdot \sum\limits_{k=0}^2 f(\widetilde{x_k}) = \frac{1}{3} \cdot (f(\widetilde{x_0}) + f(\widetilde{x_1}) + f(\widetilde{x_2}) ) \end{eqnarray*}$ . smile

19.06.2018, 13:54

Mimi123

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Stimmt

es ist n=1, dann ändert sich alles.
Ich habe dann also:
$\begin{eqnarray*} x_{0}=\frac{1}{\sqrt{3} }, x_{1}=-\frac{1}{\sqrt{3} } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \widetilde{x_{0} }=\frac{9+\sqrt{3} }{6 }, \widetilde{x_{1} }=-\frac{9-\sqrt{3} }{6 } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \widetilde{A}=\frac{b-a}{2}*A=\frac{1}{2}*1=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ist das transformierte Gewicht von A.

Dann komme ich ingesamt auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \sum\limits_{k=0}^{1} (f(x_{0} )*f(x_{1} ))=\frac{9}{13} \end{eqnarray*}$ verwirrt

19.06.2018, 15:20

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mimi123
$\begin{eqnarray*} \widetilde{x_{0} }=\frac{9+\sqrt{3} }{6 }, \widetilde{x_{1} }=-\frac{9-\sqrt{3} }{6 } \end{eqnarray*}$

Eher doch: $\begin{eqnarray*} \widetilde{x_1} = \frac{9-\sqrt{3}}{6} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Mimi123
Dann komme ich ingesamt auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \sum\limits_{k=0}^{1} (f(x_{0} )*f(x_{1} ))=\frac{9}{13} \end{eqnarray*}$ verwirrt

Die linke Seite ist ja total verunglückt. unglücklich

Richtig ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \sum\limits_{k=0}^1 f(\widetilde{x_k}) \end{eqnarray*}$

Und denk dran, daß es sich um eine Summe handelt, nicht um ein Produkt. Lehrer

Ansonsten komme ich auch auf dein Ergebnis. smile

19.06.2018, 16:47

Mimi89

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Ups hab mich vertippt . Dankeschön. smile

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