Standardisierte Normalverteilung

19.06.2018, 13:22

Lauraundlisa1

Standardisierte Normalverteilung

Hallo alle zusammen habe die Folgende etwas schwierigere Aufgabe.

zur a) Die Werte kann man ganz einfach aus der Tabelle ablesen. Ich war etwas verwundert so eine Aufgabe zu bekommen geschockt

zur b) Hier habe ich Probleme. Wie kann ich das zeigen ? kann mir jemand ein Ansatz geben ?

19.06.2018, 13:28

HAL 9000

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Der dort gegebene Hinweis ist eigentlich sehr deutlich - was besseres fällt mir auch nicht ein:

D.h., Substitution $\begin{eqnarray*} u=-t \end{eqnarray*}$ führt zu $\begin{eqnarray*} \Phi(-x) = \int\limits_{-\infty}^{-x} \varphi(t) ~ \dd t = \int\limits_x^{\infty} \varphi(-u) ~ \dd u \end{eqnarray*}$ .

Symmetrie von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ sowie Gesamtwahrscheinlichkeit=1 ergeben den Rest.

19.06.2018, 13:48

Lauraundlisa1

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Hallo Lieber Hal smile

Sag mal was soll man denn deiner Meinung nach bei der a) lernen ? Ist ja nur ablesen oder?

und nochmal zur b)

Also Subs von $\begin{eqnarray*} u=-t \end{eqnarray*}$ .

Das bedeutet aber auch $\begin{eqnarray*} - du= dt \end{eqnarray*}$ .

So und nun:

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty }^{-x} \! f(t) \, dt = -\int_{-\infty }^{-x} \! f(-u) \, du = \int_{-x }^{-\infty} \! f(-u) \, du \end{eqnarray*}$

Wegen Sym. folgt noch $\begin{eqnarray*} \int_{-x }^{-\infty} \! f(u) \, du \end{eqnarray*}$ Wie kommst du auf die Unter und Obergrenze ?

19.06.2018, 13:58

HAL 9000

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Zitat:

Original von Lauraundlisa1
Sag mal was soll man denn deiner Meinung nach bei der a) lernen ? Ist ja nur ablesen oder?

Ja.

Zu b) Bei der Substitution eines bestimmten Integrales werden auch die Intervallgrenzen der entsprechenden Substitutionstransformation unterzogen - das scheinst du überhaupt nicht zu beachten. unglücklich

Zur Erinnerung: Die Substitutionsregel lautet komplett

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{g(a)}^{g(b)} f(t) ~ \dd t = \int\limits_{a}^{b} f(g(u))g'(u) ~ \dd u \end{eqnarray*}$ .

Sollte $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ zudem bijektiv sein, kann man es auch als

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{c}^{d} f(t) ~ \dd t = \int\limits_{g^{-1}(c)}^{g^{-1}(d)} f(g(u))g'(u) ~ \dd u \end{eqnarray*}$

schreiben.

19.06.2018, 14:25

Lauraundlisa1

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Oh Gott das ist ja Peinlich Ups

$\begin{eqnarray*} -u=t \end{eqnarray*}$

daraus Folgt $\begin{eqnarray*} -u=-x \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} u=x \end{eqnarray*}$ Analog für die andere Grenze.

So somit haben wir:

$\begin{eqnarray*} \int_{x}^{\infty } \! f(u) \, du \end{eqnarray*}$ .

Die Gegenwahrscheinlichkeit davon ist:

$\begin{eqnarray*} 1- \int_{-\infty}^{x } \! f(u) \, du \end{eqnarray*}$

so sollte es stimmen oder ?

19.06.2018, 14:31

HAL 9000

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Ja.

19.06.2018, 15:12

Lauraundlisa1

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Kannst du mir noch sagen ob die Herleitung stimmt ?

$\begin{eqnarray*} \Phi(-x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi} } \int_{-\infty }^{-x} \! e^{-\frac{t^2}{2}} \, dt +\frac{1}{\sqrt{2\pi} } \int_{-x}^{x} \! e^{-\frac{t^2}{2}} \, dt -\frac{1}{\sqrt{2\pi} } \int_{-x }^{-x} \! e^{-\frac{t^2}{2}} \, dt \end{eqnarray*}$

die ersten 2 Integrale ergeben:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2\pi} } \int_{-\infty }^{x} \! e^{-\frac{t^2}{2}} \, dt + -\frac{1}{\sqrt{2\pi} } \int_{-x }^{-x} \! e^{-\frac{t^2}{2}} \, dt \end{eqnarray*}$

Also:
$\begin{eqnarray*} \Phi(-x)=\Phi(x) -P(-x<X<=x) \end{eqnarray*}$

und beide Seiten zusammenfassen ergibt:

$\begin{eqnarray*} 1-2\Phi(x)= -P(-x<X<=x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2\Phi(x)-1= P(-x<X<=x) \end{eqnarray*}$

Wenn das falsch ist gib mir bitte kein Tipp ich muss sowas einfaches selber hinkriegen sonst brauche ich nicht mehr weiter zu studieren Big Laugh

19.06.2018, 16:11

HAL 9000

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Zitat:

Original von Lauraundlisa1
$\begin{eqnarray*} \Phi(-x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi} } \int_{-\infty }^{-x} \! e^{-\frac{t^2}{2}} \, dt +\frac{1}{\sqrt{2\pi} } \int_{-x}^{x} \! e^{-\frac{t^2}{2}} \, dt -\frac{1}{\sqrt{2\pi} } \int_{-x }^{-x} \! e^{-\frac{t^2}{2}} \, dt \end{eqnarray*}$

Im letzten Teilintegral soll wohl die obere Grenze $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} -x \end{eqnarray*}$ lauten - verfluchtes Copy+Paste. Augenzwinkern

An sich gibt es aber gar keinen vernünftigen Grund, sich noch mit den Integralen rumzuplagen, man kann doch nach der bereits getätigten Vorarbeit $\begin{eqnarray*} \Phi(-x)=1-\Phi(x) \end{eqnarray*}$ auch einfach

$\begin{eqnarray*} P(-x < X \leq x) = P(X\leq x) - P(X\leq -x) = \Phi(x)-\Phi(-x) \stackrel{(*)}{=} \Phi(x)-(1-\Phi(x)) \end{eqnarray*}$

rechnen.

19.06.2018, 16:47

Lauraundlisa1

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Ja stimmt auch wieder. Ich danke dir für die Hilfe Lieber Hal smile

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