Kompakte konvexe Menge, Supremum Rand

19.06.2018, 17:50	qayxcvbnm	Auf diesen Beitrag antworten »
Kompakte konvexe Menge, Supremum Rand Meine Frage: Ich soll zeigen, dass eine konvexe Funktion f:K->R von einer kompakten konvexen Teilmenge des R^n K nach R ihr Supremum auf dem Rand von K annimmt. Meine Ideen: Ich habe bislang nur den ANsatz der Definition von konvexen Funktionen verfolgt, habe aber nichts rausbekommen, mir fehlt vor allem ein Kriterium um die Randpunkte praktisch zu definieren: f((1-t)u+tv)<=(1-t)f(u)+tf(v) 0<=t<=1
20.06.2018, 12:36	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei $\begin{eqnarray} x\in K \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x) = \max_{y\in K}f(y) \end{eqnarray}$ . Nimm an, dass $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ nicht auf dem Rand liegt. Dann gibt es Punkte $\begin{eqnarray} x_1,x_2\in\partial K \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ auf der Verbindungsstrecke von $\begin{eqnarray} x_1,x_2 \end{eqnarray}$ liegt, begründe dies. Jetzt kannst du mit der Konvexität ausschließen, dass $\begin{eqnarray} f(x_1),f(x_2) \end{eqnarray}$ beide kleiner sind, als $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ .

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