Dreifachintegral

19.06.2018, 18:28

Kathreena

Dreifachintegral

Sei D der Standard Tetraeder:

$\begin{eqnarray*} D:= \left\{(x,y,z) | x,y,z \geq 0, x+y+z \leq 1\right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U(x,y,z) = e^{x+y+z} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} W(x,y,z) = x^2+y^2+z^2 \end{eqnarray*}$

Berechne das Dreifachintegral:
$\begin{eqnarray*} \int \int\int_{D} \! grad(U) \cdot grad(W) \, dV \end{eqnarray*}$

Meine Idee:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} \int_{0}^{1-x-y} \!2x \cdot e^{x+y+z} + 2y \cdot e^{x+y+z} + 2z \cdot e^{x+y+z} \, dz dy dx = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} 2\cdot e^{x+y} \int_{0}^{1-x-y} \!x \cdot e^z + y \cdot e^z + z \cdot e^z \, dz dy dx \end{eqnarray*}$

Lös ich aber nun das erste Integral in einer Nebenrechnung, kommt da null raus ?
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1-x-y} \!x \cdot e^z + y \cdot e^z + z \cdot e^z \, dz = \left[x\cdot e^z + y\cdot e^z+ z\cdot e^z-e^z\right]_{0}^{1-x-y} = \left[e^z(x+y+z-1)\right]_{0}^{1-x-y} = 0 \end{eqnarray*}$

Aber das kann nich stimmen.

19.06.2018, 18:46

Leopold

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Rechne den Wert an der unteren Grenze $\begin{align*} z=0 \end{align*}$ noch einmal nach.

19.06.2018, 18:55

Kathreena

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$\begin{eqnarray*} \int_{1-x}^{1-x-y} \! U \, dz \end{eqnarray*}$ so?

versteh ncih wie ich das "nachrechnen" soll. Ich versuch das aus der Skizze von D abzulesen.

19.06.2018, 19:12

Leopold

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RE: Dreifachintegral

Zitat:

Original von Kathreena
$\begin{eqnarray*} \ldots = \left[e^z(x+y+z-1)\right]_{0}^{1-x-y} = 0 \end{eqnarray*}$

Aber das kann nich stimmen.

Hier hast du den Wert für $\begin{align*} z=0 \end{align*}$ falsch berechnet. Das ist alles.

Man könnte auch eine Variablentransformation durchführen:

$\begin{align*} x = u \, , \ \ y = v-u \, , \ \ z = w-v \end{align*}$

Der Betrag der Funktionaldeterminanten der Substitution ist 1. Die Bedingungen

$\begin{align*} x,y,z \geq 0 \end{align*}$ und $\begin{align*} x+y+z \leq 1 \end{align*}$

übersetzen sich in

$\begin{align*} 0 \leq u \leq v \leq w \leq 1 \end{align*}$

Nach Fubini hat man dann Folgendes zu berechnen:

$\begin{align*} \int \limits_0^1 \int \limits_0^w \int \limits_0^v 2w \operatorname{e}^w ~ \dd u ~ \dd v ~ \dd w \ = \ \int \limits_0^1 2w \operatorname{e}^w \int \limits_0^w \int \limits_0^v \dd u ~ \dd v ~ \dd w \ = \ \int \limits_0^1 w^3 \operatorname{e}^w ~ \dd w \end{align*}$

19.06.2018, 19:45

Kathreena

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Ah danke, das ist wohl wesentlich kürzer.

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