Integral lösen mit Additionstheoremen

19.06.2018, 23:06

rudine

Integral lösen mit Additionstheoremen

$\begin{eqnarray*} f(T)\lim_{T \to \infty } \frac{1}{2T} \int_{-T}^{+T} \! a*cos(2\pi t)*a*cos(2\pi *(t+T)) \, dt \end{eqnarray*}$

Verwendung von einem Additionstheorem um keine Produkt Integrieren zu müssen.

$\begin{eqnarray*} f(T)= \lim_{T \to \infty } \frac{1}{2T} \int_{-T}^{+T} \! a^{2} \frac{1}{2} \! cos(2\pi t - 2\pi (t+T))cos(2\pi t+2\pi(t+T)) \, dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(T)= \lim_{T \to \infty } \frac{1}{2T} \int_{-T}^{+T} \! a^{2} (\frac{1}{2} \! cos(2\pi t - 2\pi (t+T))+cos(2\pi t+2\pi(t+T))) \, dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(T)= \lim_{T \to \infty } \frac{1}{2T} \int_{-T}^{+T} \! a^{2}( \frac{1}{2} \! cos(-2 \pi T))+cos(2\pi(2t+T))) \, dt \end{eqnarray*}$

Da ich integriere nach $\begin{eqnarray*} dt \end{eqnarray*}$ ist offensichtlich das der erste Cosinus wegfällt weil die variable t sich suptrahiert.

$\begin{eqnarray*} f(T)= \lim_{T \to \infty } \frac{1}{2T} \int_{-T}^{+T} \! a^{2} \frac{1}{2} \! cos(2\pi(2t+T)) \, dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(T)= \frac{1}{2} \left[a^{2} \frac{1}{2} \! *\frac{1}{4\pi} *sin(2\pi(2t+T)) \right]_{-1}^{+1} \end{eqnarray*}$

Der Sinus ist ein periodische Funktion also ist es aussreichend nur von -1 bis +1 über eine periode zu intergrieren.

$\begin{eqnarray*} f(T)= \lim_{T \to \infty } \frac{1}{2T} \left[a^{2} \frac{1}{2} \! *\frac{1}{4\pi} *sin(2\pi(2t+T)) \right]_{-1}^{+1} \end{eqnarray*}$

Dann verwende ich wieder ein Additionstheorem.

$\begin{eqnarray*} f(T)= \frac{a^{2} }{16\pi}* \left[ \! sin(4\pi t)*cos(2\pi T) + sin(2\pi T)*cos(4\pi t) \right]_{+1}^{-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(T)= \frac{a^{2} }{16\pi}* ( sin(4\pi )*cos(2\pi T) + sin(2\pi T)*cos(4\pi ) ) \end{eqnarray*}$

Beim Einsetzen wird deutlich $\begin{eqnarray*} sin(4\pi) = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} cos(4\pi ) = 1 \end{eqnarray*}$ also folgt daraus.

$\begin{eqnarray*} f(T)= \frac{a^{2} }{16\pi}*sin(2\pi T) \end{eqnarray*}$

Die Lösung die im Lösungsbuch gegeben ist ohne Lösungsweg sodass es wahrscheinlich einen viel einfachen Weg gibt. Ich bin Ratlos. Habe schon paar mal nachgerechnet komme aber nicht auf die Lösung.

$\begin{eqnarray*} f(T)\lim_{T \to \infty } \frac{1}{2T} \int_{-T}^{+T} \! a*cos(2\pi t)*a*cos(2\pi *(t+T)) \, dt = \frac{1}{2} a^{2} cos(2 \pi T) \end{eqnarray*}$

19.06.2018, 23:17

HAL 9000

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RE: Integral lösen mit Additionstheoremen

Zitat:

Original von rudine
$\begin{eqnarray*} f(T)= \lim_{T \to \infty } \frac{1}{2T} \int_{-T}^{+T} \! a^{2}( \frac{1}{2} \! cos(-2 \pi T))+cos(2\pi(2t+T))) \, dt \end{eqnarray*}$

Da ich integriere nach $\begin{eqnarray*} dt \end{eqnarray*}$ ist offensichtlich das der erste Cosinus wegfällt weil die variable t sich suptrahiert.

Was "fällt da weg" ? $\begin{eqnarray*} \cos(-2 \pi T) \end{eqnarray*}$ ist eine Konstante bzgl. der Integration über $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ , und diese Konstante ist für fast alle $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ ungleich Null, fällt also mitnichten weg. unglücklich

Außerdem lass mal den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{T\to\infty} \end{eqnarray*}$ weg, denn der macht in Kombination mit der Darstellung $\begin{eqnarray*} f(T) \end{eqnarray*}$ als Funktion von $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ nun hier wirklich keinen Sinn.

20.06.2018, 00:15

rudine

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RE: Integral lösen mit Additionstheoremen

Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

setze ich dann später die grenzen -1 und +1 fällt der weg.

20.06.2018, 07:34

HAL 9000

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Ich hab nochmal drüber nachgedacht: Man kann es drehen und wenden wie man will, dein

Zitat:

Original von rudine
$\begin{eqnarray*} f(T) = \lim_{T \to \infty } \frac{1}{2T} \int_{-T}^{+T} \! a*cos(2\pi t)*a*cos(2\pi *(t+T)) \, dt \end{eqnarray*}$

ergibt einfach keinen Sinn: Der Grenzwert existiert nicht (zumindest dann, wenn $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ nicht natürlich, sondern reell ist).

Meine Vermutung ist, dass du hier zwei unterschiedliche Variablen zu einer Variablen $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ vermantscht hast, d.h., es geht in Wahrheit um

$\begin{eqnarray*} f({\color{blue}T}) = \lim_{{\color{red}\tau}\to \infty } \frac{1}{2{\color{red}\tau}} \int\limits_{-{\color{red}\tau}}^{+{\color{red}\tau}} a\cdot \cos(2\pi t)\cdot a\cdot \cos(2\pi (t+{\color{blue}T})) ~ \dd t \end{eqnarray*}$ .

Dann würde zumindest einiges in deinem Beitrag etwas Sinn ergeben. Der Punkt mit der Konstante ungleich Null, auf den ich hingewiesen habe, bleibt aber bestehen. Und dein unbegründetes Ansinnen, das Intervall auf -1 bis +1 zu verkürzen, bringt auch überhaupt nichts.

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