Logarithmusgleichung

20.06.2018, 13:36	pimpl	Auf diesen Beitrag antworten »
Logarithmusgleichung Guten Tag allerseits. Ich habe hier eine einfache Logarithmusgleichung, die ich jetzt auf Anhieb nicht lösen kann.. Ist es möglich, dass ich einen einfachen Zusammenhang übersehe oder ist die Gleichung nicht geschlossen lösbar? Vielen Dank für eure Antworten! Gleichung: $\begin{eqnarray} y = -k\left(ab\cdot e^{-bx}+cd\cdot e^{-dx} \right) \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} y = 0 \end{eqnarray}$ ist es ein Leichtes die Lösung $\begin{eqnarray} x=\frac{\ln(-\frac{ab}{cd} )}{b-d} \end{eqnarray}$ zu erhalten. Diese müsste soweit korrekt sein. Aber wie schaut es aus, wenn nicht die Nullstelle gesucht ist, sondern ein spezifischer " $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ " -Wert? Ich komme nach folgender Umformung nicht weiter: $\begin{eqnarray} \ln(-\frac{\alpha}{k} ) = \ln(ab\cdot (e^{-b})^{x} +cd\cdot (e^{-d})^{x}) \end{eqnarray}$ Wie kann ich das x bestimmen, welches den $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ -Wert liefert?
20.06.2018, 14:02	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Logarithmusgleichung Leider sehe ich da keine echte Chance, die Gleichung nach x aufzulösen. Für vorgegebene Werte der Parameter bietet sich nur ein numerisches Verfahren an.
20.06.2018, 14:25	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt Spezialfälle, wo doch noch etwas drin ist: Ist der Quotient $\begin{eqnarray} \frac{b}{d} \end{eqnarray}$ rational, so lässt sich die Gleichung durch eine geeignete Substitution in eine algebraische Gleichung überführen. Das nützt jedoch nur dann wirklich etwas im Sinne einer exakten (nicht numerischen) Lösung, wenn der Grad dieser Gleichung $\begin{eqnarray} \leq 4 \end{eqnarray}$ ist, besser noch $\begin{eqnarray} \leq 2 \end{eqnarray}$ für nicht allzu eklige Formeln. Für Quotient $\begin{eqnarray} \frac{b}{d}=2 \end{eqnarray}$ etwa wäre das machbar. Und dann gibt es natürlich noch die wirklich trivialen Spezialfälle, wo mindestens einer der vier Parameter $\begin{eqnarray} a,b,c,d \end{eqnarray}$ gleich Null ist, aber über die müssen wir wohl sicher nicht reden.

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