Gammaverteilung

20.06.2018, 13:45

Lauraundlisa1

Gammaverteilung

Hallo alle zusammen smile

Ich habe eine Aufgabe zur Gammaverteilung. Natürlich habe ich wieder versucht die Aufgabe selbstständig zu lösen.

zur a) Die dichte f von X ist gegeben durch:

$\begin{eqnarray*} \frac{\lambda^a}{\Gamma(a)} *x^{a-1} * e^{-\lambda*x} \end{eqnarray*}$

mit a=2 , lambda=1/2 und x>0 folgt ->

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{4}*e^{-\frac{x}{2} } \end{eqnarray*}$

Die Skizze dazu sieht wie folgt aus:

Ich verstehe nicht wieso die Funktion so geplottet wird. Irgendwas stimmt doch nicht.
ab x=4 sollte die Funktion normalerweise Monoton steigen also nach meinen beobachtungen.

Der erste Faktor wächst für x gegen unendlich. Und außerdem ist dieser größer als 1 ab x=5.
Der zweite Faktor wird mit wachsendem x immer kleiner.

Wenn man zwei Zahlen Multipliziert die zwischen 0<x<1 sind wird das Produkt von denen eine noch kleinere Zahl. Warum passiert das nicht hier.
Ab x=5 sollte doch normalerweise die Funktion steigen.

Und die Verteilungsfunktion ergibt sich aus:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}*\int_{0}^{x} \! t*e^{-\frac{t}{2}} \, dt \end{eqnarray*}$

Integral lösen für x>0 :

$\begin{eqnarray*} \frac{e^{-\frac{x}{2}}*(2x-4)+4 }{4} \end{eqnarray*}$

bzw. $\begin{eqnarray*} \frac{(2x-4) }{4} e^{-\frac{x}{2}} +1 \end{eqnarray*}$

ich glaube ohne den Plotter hätte ich die skizzen nicht hinbekommen hmm. Wie kann ich die Skizze in der Klausur zeichnen ?

20.06.2018, 13:53

HAL 9000

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Zeig mir auch nur eine Wahrscheinlichkeitsdichte $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ einer stetigen Zufallsgröße, für die es eine Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\geq x_0 \end{eqnarray*}$ streng monoton steigt... smile

Sowas kann es gar nicht geben, das widerspricht schon der Forderung eines endlichen Integrals $\begin{eqnarray*} \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x) ~ \dd x = 1 \end{eqnarray*}$ bei gleichzeitigem $\begin{eqnarray*} f(x)\geq 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Es ist also alles in Ordnung mit deiner Dichte und auch mit dem Plot.

Zur Verteilungsfunktion: Die muss monoton wachsend sein, dazu mit Werten $\begin{eqnarray*} 0\leq F(x)\leq 1 \end{eqnarray*}$ . Da beides bei deiner VF nicht der Fall ist, musst du dich irgendwo verrechnet haben.

EDIT: Letzten Endes ist der Übeltäter ein Vorzeichenfehler, tatsächlich gilt für $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(x) = \frac{-2x-4}{4} e^{-\frac{x}{2}} +1 = 1-\left(1+\frac{x}{2}\right)e^{-\frac{x}{2}} \end{eqnarray*}$ .

20.06.2018, 14:13

Lauraundlisa1

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Hallo Lieber Hal smile

Zur Verteilungsfunktion:

Vorzeichenfehler + Umformungsfehler:

$\begin{eqnarray*} -\frac{(2x-4) }{4} e^{-\frac{x}{2}} +1 \end{eqnarray*}$ Falsch

richtig ist

$\begin{eqnarray*} \frac{4-(2*x+4)e^{-\frac{x}{2} }}{4}= \end{eqnarray*}$

bzw. $\begin{eqnarray*} -\frac{(2x+4) }{4} e^{-\frac{x}{2}} +1 \end{eqnarray*}$

also

so sollte die Verteilungsfunktion stimmen.

Wegen der Dichte muss ich nochmal kurz nachdenken Big Laugh

20.06.2018, 14:18

HAL 9000

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Allgemein gilt: Ist bei der Gammaverteilung $\begin{eqnarray*} \gamma(p,b) \end{eqnarray*}$ der Parameter $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ganzzahlig, so nennt man das ganze auch Erlangverteilung $\begin{eqnarray*} \operatorname{Erl}(b,p) \end{eqnarray*}$ (ja, die Reihenfolge der Parameter ist tatsächlich vertauscht), und dort besitzt die Verteilungsfunktion die geschlossene Darstellung

$\begin{eqnarray*} F(x) = 1-e^{-bx}\sum_{i=0}^{p-1} \frac{b^i}{i!}x^i \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$ .

Wir haben hier den Fall $\begin{eqnarray*} p=2,b=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ vorliegen, passt.

Für nichtganzzahliges $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ existiert eine vergleichbare Darstellung leider nicht.

20.06.2018, 14:35

Lauraundlisa1

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Danke für die Information in deinem letzten Beitrag.

Ich verstehe nun die Verteilungsfunktion diese ist Relativ einfach. Nur verstehe ich eine Sache nicht.

Der Term $\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{x})*e^{-\frac{x}{2}} \end{eqnarray*}$ , wieso wird dieser immer kleiner mit wachsendem x ? Ist das so weil die Exponentiell Funktion dominiert ?

20.06.2018, 14:41

HAL 9000

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Zitat:

Original von Lauraundlisa1
Danke für die Information in deinem letzten Beitrag.

Ich verstehe nun die Verteilungsfunktion diese ist Relativ einfach. Nur verstehe ich eine Sache nicht.

Der Term $\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{x})*e^{-\frac{x}{2}} \end{eqnarray*}$ , wieso wird dieser immer kleiner mit wachsendem x ? Ist das so weil die Exponentiell Funktion dominiert ?

Copy+Paste-Error, du meinst sicher $\begin{eqnarray*} \left (1+\frac{x}{2}\right)\cdot e^{-\frac{x}{2}} \end{eqnarray*}$ :

Ja, der Exponentialterm dominiert gegenüber dem linearen Term. Sehr gut versteht man das Verhalten, wenn man den Exponentialterm in den Nenner schreibt und dann in die Potenzreihe entwickelt:

$\begin{eqnarray*} \left (1+\frac{x}{2}\right)\cdot e^{-\frac{x}{2}} = \frac{1+\frac{x}{2}}{e^{\frac{x}{2}}} = \frac{1+\frac{x}{2}}{1+\frac{x}{2}+\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{48}+\frac{x^4}{384}+\ldots} \end{eqnarray*}$

20.06.2018, 14:49

Lauraundlisa1

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Oh super danke das hilft mir echt sehr.

Bei der Dichte ist das dann wohl so das die Exponential Funktion ab x=5 domeniert.
Könntest du sowas grob zeichnen ohne einen Plotter ?
Wenn ja wie gehst du vor ?

20.06.2018, 15:09

HAL 9000

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Als fertig ausgebildeter Mathematiker muss ich mich nicht künstlich quälen und darf hemmungslos CAS oder andere Hilfsmittel wie hier den Boardplotter nutzen, um sowas zu zeichnen. Augenzwinkern

Wiki liefert natürlich ein paar Infos über den Kurvenverlauf der Dichte, so z.B. die Maximumstelle $\begin{eqnarray*} x_m=\frac{p-1}{b} \end{eqnarray*}$ , in deinem Fall $\begin{eqnarray*} p=2,b=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ist das $\begin{eqnarray*} x_m=2 \end{eqnarray*}$ . Ab wann etwas "dominiert", ist natürlich ein ziemlich weicher Begriff - was soll das konkret bedeuten?

20.06.2018, 15:32

Lauraundlisa1

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hm das ist wohl der falsche Ansatz.
Ich verstehe bei der Dichte nicht warum die Dichte von 0bis2 steigt und ab 2 anfängt zu fallen das ist nur mein Problem.

Der Erwartungswert :

E(X)=4

Die Varianz:

V(X)=8

und

20.06.2018, 15:55

HAL 9000

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Also das mit der graphischen Veranschaulichung von $\begin{eqnarray*} E(X) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V(X) \end{eqnarray*}$ hast du wohl komplett falsch verstanden:

Du sollst die Werte in die Skizzen aus a) und b) eintragen. Beim Erwartungswert $\begin{eqnarray*} \mu=E(X) \end{eqnarray*}$ ist damit ganz klar die Stelle gemeint.

Bei $\begin{eqnarray*} V(X) \end{eqnarray*}$ ist mir allerdings auch nicht ganz klar, wie die das meinen: Womöglich sollst du den $\begin{eqnarray*} 1\sigma \end{eqnarray*}$ -Bereich um den Erwartungswert kennzeichnen, also die beiden Werte $\begin{eqnarray*} \mu\pm 1\sigma = E(X)\pm \sqrt{V(X)} \end{eqnarray*}$ :

20.06.2018, 16:39

Lauraundlisa1

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Ja ich glaube das macht so am meisten Sinn. Big Laugh

Soll ich dann nochmal wegen

"hm das ist wohl der falsche Ansatz.
Ich verstehe bei der Dichte nicht warum die Dichte von 0bis2 steigt und ab 2 anfängt zu fallen das ist nur mein Problem. "

am besten selbst nachdenken ?

EDIT:

Warum macht es keinen Sinn V(X) einzuzeichnen bei x=8 ?

20.06.2018, 16:47

HAL 9000

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Tja, ich weiß nicht, warum man da groß grübeln muss - wenn man es nicht glaubt, dann macht man eben eine kleine Kurvendiskussion der Gammaverteilungs-Dichtefunktion $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{b^p}{\Gamma(p)} x^{p-1} e^{-bx} \end{eqnarray*}$ , da wäre z.B. die Ableitung

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{b^p}{\Gamma(p)} \left[ (p-1)x^{p-2}-bx^{p-1} \right] e^{-bx} = \frac{b^{p+1}}{\Gamma(p)} \left[ \frac{p-1}{b}-x \right] x^{p-2} e^{-bx} \end{eqnarray*}$

Offenkundig ist dann $\begin{eqnarray*} f'(x)> 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x<\frac{p-1}{b} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} f'(x)<0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x>\frac{p-1}{b} \end{eqnarray*}$ , damit ist doch das Monotonieverhalten sowie das globale Maximum bei $\begin{eqnarray*} x_m=\frac{p-1}{b} \end{eqnarray*}$ geklärt.

Zitat:

Original von Lauraundlisa1
Warum macht es keinen Sinn V(X) einzuzeichnen bei x=8 ?

Offenkundig bist du das Denken in physikalischen Einheiten nicht gewohnt. Nehmen wir mal an, diese gammaverteilte Zufallsgröße kennzeichnet ein Zeit (z.B. in Minuten, Maßeinheit $\begin{eqnarray*} min \end{eqnarray*}$ ).

Dann haben wir horizontal die Zeiachse und können beispielsweise den Erwartungswert $\begin{eqnarray*} E(X)=4~min \end{eqnarray*}$ eintragen. Wo bitte willst du die Varianz $\begin{eqnarray*} V(X)=8~min^2 \end{eqnarray*}$ (in Worten "Quadratminuten") eintragen: Bei Abszissenwert 8?

Jetzt skalieren wir gedanklich mal um in Sekunden: Dann ist $\begin{eqnarray*} E(X)=240~s \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V(X)=28800~s^2 \end{eqnarray*}$ : In einem Koordinatensystem mit Sekundenachse würdest du dann $\begin{eqnarray*} V(X) \end{eqnarray*}$ nicht beim doppelten Wert von $\begin{eqnarray*} E(X) \end{eqnarray*}$ , sondern beim 120fachen Wert eintragen???

Das passt einfach nicht - die Standardabweichung $\begin{eqnarray*} \sigma=\sqrt{V(X)} \end{eqnarray*}$ befindet sich auf demselben Einheitenniveau wie Erwartungswert, Quantile (wie etwa Median) sowie Zufallsgröße selbst, nicht aber die Varianz. unglücklich

20.06.2018, 22:47

Lauraundlisa1

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Hallo Lieber Hal,

Sorry das ich so spät antworte.

Wow vielen dank das wäre echt nicht nötig gewesen danke für die Kurvendiskussion smile

Das was du da erklärst hört sich wirklich sehr Interessant an.
Vielen dank. Von dir kann man einiges lernen smile

bist du ein Prof. ?

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