Residuensatz

20.06.2018, 15:45

mandl

Residuensatz

Hallo, habe ein Problem bei einer Residuensatz aufgabe und zwar:

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty }^{\infty } \! \frac{x^2}{x^4+1} \, dx \end{eqnarray*}$

ich habe zu erst versucht die Polstellen zu finden und komme dabei auf $\begin{eqnarray*} x_{1,2} = \pm \sqrt{i} ; x_{3,4} = \pm \sqrt{-i} \end{eqnarray*}$

da ich bei dieser Art der Aufgabe nur alle Polstellen mit Imaginärteil >0 nehme brauch eich nur x1 und x4

Wenn ich nun das erste berechnen will stoße ich auf schwierigkeiten und zwar:
$\begin{eqnarray*} \lim_{z \to \sqrt{i} } (z-\sqrt{i})*\frac{z^2}{(z-\sqrt{i})*(z+\sqrt{i})*(z-\sqrt{-i})*(z+\sqrt{-i})} \end{eqnarray*}$
wenn ich jetzt kürze und versuche den limes anzuwenden komme ich auf:
$\begin{eqnarray*} \frac{i}{2i\sqrt{i}-2\sqrt{i}+2i\sqrt{-i}-2\sqrt{-i}} <br /> \end{eqnarray*}$

ich habe leider kA wo mein fehler liegt vllt kann mir wer helfen danke im vorraus

20.06.2018, 16:02

HAL 9000

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nur so als Hinweis
Man kann deine $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_4 \end{eqnarray*}$ auch konkret ausrechnen:

$\begin{eqnarray*} x_1 = \frac{1+i}{\sqrt{2}},\quad x_4 = \frac{-1+i}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

Hinweis zur effizienteren Berechnung der Residuenwerte: Man muss nicht immer voll faktorisieren, sondern mit Augenmaß!

Wir haben $\begin{eqnarray*} z^2-i=(z-x_1)(z+x_1) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} z^2+i=(z-x_4)(z+x_4) \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} z^4+1 = (z^2-i)(z^2+i) \end{eqnarray*}$ gilt daher

$\begin{eqnarray*} \lim_{z\to x_1} (z-x_1)\cdot \frac{z^2}{z^4+1} = \lim_{z\to x_1} \frac{z^2}{(z+x_1)(z^2+i)} = \frac{x_1^2}{2x_1\cdot 2i} = \ldots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{z\to x_4} (z-x_4)\cdot \frac{z^2}{z^4+1} = \lim_{z\to x_4} \frac{z^2}{(z^2-i)(z+x_4)} = \frac{x_4^2}{(-2i)2x_4} = \ldots \end{eqnarray*}$ .

21.06.2018, 10:41

mandl

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danke auf jedenfall für die hilfe. zum konkreten ausrechnen habe ich eine frage und zwar wie kommst du darauf? ich bin bei meinen polstellen wie folgt vorgegangen:
1. substitudion: $\begin{eqnarray*} x^2=u \end{eqnarray*}$ damit erhalte ich: $\begin{eqnarray*} u^2+1=0 \end{eqnarray*}$
2. u berechnen: $\begin{eqnarray*} u_{1,2} =\pm i \end{eqnarray*}$
3. Rücktransformieren in x $\begin{eqnarray*} x_{1,2} =\pm \sqrt{i} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x_{3,4} =\pm \sqrt{-i} \end{eqnarray*}$

jetzt ist mir nicht ganz klar über welchen ansatz du auf deine konkret berechneten 0 Stellen kommst.

zum weiteren verlauf deiner erklärung:

ich bin mir jetzt nicht ganz sicher aber mit deinen berechneten x1 und x4 könnte ich ja auch voll faktorisieren (kann ich jetzt nicht sagen weil ich ja x2 und x3 nicht kenne) da ich ja nur i stehen habe und keine wurzel aus negativem i. würde das stimmen? bzw ist deine variante natürlich sehr schön wobei ich bezweifle dass ich auf das bei der prüfung kommen würde.

21.06.2018, 11:06

HAL 9000

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Zitat:

Original von mandl
wie kommst du darauf?

Stinknormale komplexe Wurzelberechnung:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{i} = \sqrt{1\cdot e^{\frac{\pi}{2}i}} = \sqrt{1}\cdot e^{\frac{\pi}{4}i} = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)= \frac{1+i}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ .

Oder auch gleich in einem Aufwasch alle vier vierten Wurzeln von $\begin{eqnarray*} z^4+1=0 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} z^4=-1=1\cdot e^{\pi i} \end{eqnarray*}$ , die lauten

$\begin{eqnarray*} z_k = \sqrt[4]{1}\cdot e^{\frac{\pi+2k\pi}{4}i} = e^{(2k+1)\frac{\pi}{4}i} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=0,1,2,3 \end{eqnarray*}$ ,

mit Kosinus/Sinus aufgedröselt wie oben ergibt das $\begin{eqnarray*} z_0 = \frac{1+i}{\sqrt{2}},\; z_1 = \frac{-1+i}{\sqrt{2}},\; z_2 = \frac{-1-i}{\sqrt{2}},\; z_3 = \frac{1-i}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ ,

also dieselben vier Wurzeln wie bei dir, nur in leicht anderer Reihenfolge (hier im mathematisch positiven Drehsinn angeordnet, beginnend bei der positiven Realachse).

Zitat:

Original von mandl
aber mit deinen berechneten x1 und x4 könnte ich ja auch voll faktorisieren

Ja sicher, wenn man dann beim konkreten Einsetzen mehr rechnen will. Augenzwinkern

Die besondere Betonung lag ja eben auf "Effizienz", dass man eben nicht so wilde Terme wie im Nenner eines Terms in deinem Originalbeitrag hat. Aber ich will da keine Vorschriften machen, rechne erstmal so, wie du es auch verstehst, auch wenn es länger dauert - Effizienzfragen sind sekundär, über die kann man ggfs. auch später reden.

21.06.2018, 11:24

Leopold

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Zitat:

Original von mandl
wie kommst du darauf?

Wenn man sich an seine Algebrakenntnisse erinnert, fällt einem vielleicht ein, daß sich jedes reelle Polynom in irreduzible lineare oder quadratische reelle Polynome zerlegen läßt. Da $\begin{align*} z^4+1 \end{align*}$ keine reellen Nullstellen besitzt, braucht man es mit linearen Faktoren nicht zu probieren. Die quadratischen Polynome darf man als normiert annehmen und versucht es einmal mit

$\begin{align*} z^4 + 1 = \left( z^2 + az + 1 \right) \left( z^2 + bz + 1 \right) \end{align*}$

Ausmultiplizieren rechts und ein Koeffizientenvergleich führt auf

$\begin{align*} a+b = 0 \, , \ \ ab+2 = 0 \end{align*}$

Daraus berechnet man $\begin{align*} \{ a,b \} = \left\{ \pm \sqrt{2} \right\} \end{align*}$ und hat die Zerlegung

$\begin{align*} z^4 + 1 = \left( z^2 + \sqrt{2} \, z + 1 \right) \left( z^2 - \sqrt{2} \, z + 1 \right) \end{align*}$

Jetzt sind noch zwei quadratische Gleichungen zu lösen.

21.06.2018, 14:41

mandl

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ich bedanke mich recht herzlich für die produktiven beiträge habs kapiert Augenzwinkern

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