Extrema und Sattelpunkte von Funktionen - topologische Eigenschaften

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TomS Auf diesen Beitrag antworten »
Extrema und Sattelpunkte von Funktionen - topologische Eigenschaften
Gegeben sei eine Funktion f(x,a), wobei x für einen n-dim. Koordinatenvektor steht, und wobei a weitere reelle Parameter bezeichnet.



Außerdem sei vorausgesetzt, dass für bestimmte Werte von a die Menge E der Extrema und Sattelpunkte von f exakt bekannt ist:



Die Elemente in E werden mit einem Index i nummeriert.

Bei infinitesimaler Variation der Paramater a beschreibt der i-te Wert in E eine infinitesimale Kurve



Frage: welche Eigenschaften muss f(x,a) haben, so dass man argumentieren kann, dass ein derartiger Punkt i aus E nicht verschwindet, d.h. dass die Kurve C_i keinen Endpunkt hat.

Intuitiv folgt dies aus der Stetigkeit, aber wie zeigt man das?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versuche das erstmal zu verstehen - mal ein ganz einfaches Beispiel: und sowie .

Dann sieht man sehr schnell

.

D.h., hier hat deine Kurve , wenn man mit "von oben" kommt, bei einen Endpunkt. verwirrt

Zitat:
Original von TomS
Intuitiv folgt dies aus der Stetigkeit, aber wie zeigt man das?

Ich weiß nicht, wie du das meinst. Falls es die Stetigkeit von bzgl. und ist, dann reicht das nicht, wie das obige Beispiel zeigt.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zum Hintergrund der Frage siehe hier:

https://www.physikerboard.de/ptopic,317227.html#317227
TomS Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachten wir besser



mit variablen m_k und a_k jedoch festem z.


Und ja, ich erwarte natürlich, es ist sicher nicht so einfach, und ich erwarte, dass es noch weitere Voraussetzungen geben wird.
TomS Auf diesen Beitrag antworten »

Hat jemand zumindest ein Stichwort oder ein Theorem, unter den man googeln könnte?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Um mal etwas zu provozieren:

Wenn Physiker rein mathematische Fragen haben, haben die Mathematiker meist keine Antwort. Hätten sie die, würden die Physiker sie meistens kennen.
 
 
TomS Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin mir sicher, dass die Mathematiker eine Disziplin entwickelt haben, die sich damit befasst.
TomS Auf diesen Beitrag antworten »

... und zwar die Bifurkationstheorie.

Kennt sich jemand damit aus?
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