Länderpaarungen für Nationalmannschaftsspiele

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Pippen Auf diesen Beitrag antworten »
Länderpaarungen für Nationalmannschaftsspiele
Passend zur Fußball WM habe ich mich gefragt, wie viele mögliche Länderpaarungen für Nationalmannschaftsspiele es gibt, wenn wir mal von 150 Ländern ausgehen.

Meine Idee: mit Pipifax anfangen und dann mal schauen.

AB = 1
ABC = 3
ABCD = 6
ABCDE = 10
ABCDEF = 15
ABCDEFG = 21

Man sieht ein System: 1, 3, 6, 10, 15, 21,.... Aber ich bekomme das in keine Formel, um darin 150 einsetzen zu können noch weiß ich, ob es immer genau so weitergeht. verwirrt Wie würdet ihr hier jetzt weitermachen oder ist meine Herangehensweise per se Grütze und wie würdet ihr vorgehen?
G210618 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kombinationsfrage
Vgl:
In der Bundesliga gibt es 17*9 Spiele in der Hinrunde bei 18 Mannschaften.
 
 
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kombinationsfrage
Mich interessiert, wie man vorgeht. Bei meiner Herangehensweise habe ich zwei Probleme:

1. Ich weiß nicht, wie ich meine Testreihe - angenommen sie ginge entsprechend weiter - in eine Formel packen kann.
2. Ich weiß nicht, ob meine kleine Testreihe so weitergeht, wie ich denke. Dazu bräuchte ich aber 1. um dann per Induktion den Beweis führen zu können, so glaube ich.

Oder ist meine ganze Herangehensweise schon nicht gut und wie würde man vorgehen? Einfach irgendwelche Zahlen nutzen mir nix, weil ich es nicht nachvollziehen kann. Das ist dann so, wie wenn man auf Nachfrage immer ein Stück Fisch bekommt anstatt zu lernen, den Fisch selbst fangen zu können und ich will Fischen lernen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst einen immer wieder in Erstaunen versetzen: Hochtrabendste Diskussionen zu ZFC u.a. einerseits, und dann wieder hier seltsames Unwissen bei einfachsten kombinatorischen Fragestellungen:

Es geht hier um Auswahlen von 2 aus ohne Zurücklegen, deren Anzahl ist der Binomialkoeffizient .
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Es geht hier um Auswahlen von 2 aus ohne Zurücklegen, deren Anzahl ist der Binomialkoeffizient .


Ok, das scheint Standard zu sein, so wie du es hinklatschst. smile Aber versetze dich mal in meine Lage: Ich habe keine Ahnung von Kombinatorik, mir bleibt nichts anderes übrig als die Fragestellung erstmal für ein paar einfache Einstellungen mit n=2 bis n=7 zu testen. So komme ich auf eine Testreihe 1,3,6,19,15,21 und kann daraus eine Hypothese entwickeln, nämlich deine o.g. Formel (nach stundenlangem Herumprobieren, aber immerhin^^). Aber wie stelle ich jetzt sicher, dass diese Formel meine Testreihe korrekt beschreibt und umgekehrt? Induktionsbeweis?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du gern machen, aber doch bitte gleich in allgemeinerem Kontext. Sonst musst du bei Dreierauswahlen erneut zum Induktionsbeweis greifen, um Formel nachzuweisen. Big Laugh
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke, seine Frage
Zitat:
Original von PippenAber wie stelle ich jetzt sicher, dass diese Formel meine Testreihe korrekt beschreibt und umgekehrt?


bezog sich auf
Zitat:
Original von HAL 9000
Es geht hier um Auswahlen von 2 aus ohne Zurücklegen, deren Anzahl ist der Binomialkoeffizient

Also warum man das die richtige Formel ist. Ob es dafür einen Beweis gibt.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Länderpaarungen für Nationalmannschaftsspiele
Ja, genau: Wie beweise ich, dass meine Formelhypothese n(n-1)/2 die Folge: a2=1, a3=3, a4=6, a5=19, a6=15, a7=21, ... beschreibt und nicht zB bei n=345 ein falsches Ergebnis liefert?

Ausgangspunkt und Induktionsbehauptung wäre also

a2=1, a3=3, a4=6, a5=19, a6=15, a7=21, an(an-1)/2 = an(an-1)/2 und dann müßte man halt zeigen, dass es auch für den Nachfolger n+1 gilt, richtig?

Mit einem Riesenaufwand (Testreihe, Formelhypothese, Induktionsbeweis) könnte man so ohne jegliche kombinatorische Kenntnisse immer auf die richtige Berechnungsformel kommen und dann die Kombinationen ausrechnen. Immerhin!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von willyengland
Also warum man das die richtige Formel ist. Ob es dafür einen Beweis gibt.

Auf die Idee bin ich gar nicht gekommen, dass er das meinen könnte. Aber richtig, gerade im Bereich Kombinatorik haben viele massive Probleme, derartige Abstraktionen korrekt durchzuführen.
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kenne die Stochastik nur aus der Schule und da war sie mir immer unsympathisch. Man musste immer nur herausfinden, welcher Typ es ist, also z.B. mit oder ohne zurücklegen, dann gab es jeweils eine Formel, die man auswendig kennen musste.
Leider habe ich die alle wieder vergessen, obwohl man sie im Alltag manchmal gebrauchen könnte.
Das einzige, was ich beherrsche und was ich manchmal nutze ist das Baumdiagramm. Damit kann man ziemlich viel lösen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von willyengland
Man musste immer nur herausfinden, welcher Typ es ist, also z.B. mit oder ohne zurücklegen, dann gab es jeweils eine Formel, die man auswendig kennen musste.

Die wirklich interessanten Aufgaben sind nicht dieses monotonen Typs: Da muss man das Problem erst gründlich analysieren, in Teilprobleme (ggfs. auch Teilfälle) untergliedern, und kann erst am Ende dieser diversen Zweige die Grundformeln anwenden.

Hier im Thread zugegeben kann man direkt zur Anwendung schreiten (zumindest wenn man die Hypergeometrische Verteilung kennt), aber auch das bereitet ja Probleme hier, zumindest ziemliche Zweifel. Augenzwinkern
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht hilft ja auch unser Workshop: [WS] How-to Kombinatorik

Viele Grüße
Steffen
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde bei Sachverhalten, bei denen man unsicher ist, meine Idee propagieren:

1. Eine kleine Testreihe bis ca. n=5 anlegen
2. Berechnungsformel für Testreihe finden
3. Berechnungsformel induktiv für Testreihe beweisen
4. gesuchtes n einsetzen und fertig mit Garantie der Richtigkeit!

Einzige Voraussetzung: Statische Kombinatorik, also zB keine Bakterienentwicklung oder sowas, wo sind die Kombinationsregeln ändern.

Zitat:
Bsp.: Auf wieviele Arten kann man 36 Hemden mit 22 Hosen kombinieren?

1. Für 1 Hose und 1 Hemd gleich 1. Für AB Hosen und CD Hemden gleich AC AD, BC, BD, also 2 Hosen und 2 Hemden gleich 4. Für ABC Hosen und DEF Hemden gleich AD, AE, AF, BD, BE, BF, CD, CE, CF, also 3 Hosen und 3 Hemden gleich 9.
2. Wir finden die Formel n*n, die auf die Reihe passt.
3. Wir können beweisen, dass wenn n*n in der Testreihe ist, dann auch n+1 * n+1.
4. Jetzt rechnen wir einfach 36*22 = 792 und haben das Ergebnis gefunden.


ME ist das, was Kombinatorik genannt wird einfach ein short-cut zu meinem Vorgehen. Meine Idee könnte zB als Pseudocode für ein Computerprogramm dienen, was selbständig Kombinationen berechnen kann, auch ganz exotische.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Heuristik ist aber irgendwie inkonsequent: Alle deine Beispiele, deine gesamte Testreihe betrifft immer nur Fälle mit gleicher Hemden- wie Hosenzahl. Da fällt es dann doch ein wenig vom Himmel, wie die Formel bei unterschiedlicher Hemden- und Hosenzahl entsteht. smile


Abstrahiert geht es hier ebenfalls wieder um eine Grundsituation der zählenden Kombinatorik: Die freie Kombination von zwei Merkmalen mit bzw. Ausprägungen. Als Menge betrachtet ist das das kartesische Produkt der beiden Merkmalsausgangsmengen mit Mächtigkeit sowie mit . Das kartesische Produkt umfasst also alle geordneten Paare mit sowie . Graphisch veranschaulicht in einem zweidimensionalen Koordinatensystem spricht man da auch von Gitterpunktmenge.

Worum es hier dann also geht, ist die einfache Grundformel für die Anzahl solcher Paare.

Der Beweis dieser Anzahlformel kann de facto als Vollständige Induktion über geführt werden, bei konstantem (!) .


Ist übrigens eine unglaublich häufig anzutreffende Nachfrage bei derlei Anzahlberechnungen im Zusammenhang mit kartesischen Produkten "Wieso mal statt plus?". Dem liegt dann häufig eine inhaltliche Verwechslung mit dem für disjunkte geltenden zugrunde, aber "Vereinigung" und "kartesisches Produkt" sind zwei so völlig unterschiedliche Mengenoperationen, dass ich mich schon frage, wie man das verwechseln kann - da fehlt mir ganz offenkundig das nötige Einfühlungsvermögen. Augenzwinkern
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