Trigonometrische Funktion, alle Stellen für gegebenem Funktionswert

21.06.2018, 20:59

Frustomatik

Trigonometrische Funktion, alle Stellen für gegebenem Funktionswert

Meine Frage:
"Man berechne alle Stellen x der Funktion f(x)=6cos(2x-3), deren Funktionswert 2,4 ist."

Meine Ideen:
Ich habe 2,4=6cos(2x-3) gesetzt. Dann Periode errechnet (2pi/2=pi). Dann mit t substitiuiert, nach t1 aufgelöst, t2 nach Rechenregel ermittelt. Dann zurücksubstituiert und nach x1 und x2 aufgelöst. Aber die Werte passen nicht.

Wenn ich die Funktion in Geogebra anzeige passen die Werte nicht, kann mir jemand einen Lösungsweg zeigen ?

21.06.2018, 22:28

mYthos

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Du solltest bitte zeigen, was und wie du bisher gerechnet hast und was bei dir nicht stimmt.
Du musst außerdem nicht substituieren!
Die Periodenlänge des cos ist $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ und diese darf zunächst nicht verändert werden, denn sie unterliegt später auch der Division.

Dividiere zunächst durch 6:

$\begin{eqnarray*} \cos (2x-3) = 0.4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x - 3 = \arccos 0.4 + 2k\pi; \ k \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x = \arccos0.4 + 3 + 2k\pi \end{eqnarray*}$

Nun ist durch 2 zu dividieren. Beachte, dass es bei $\begin{eqnarray*} \arccos 0.4 \end{eqnarray*}$ ZWEI Werte gibt (Haupt-, Nebenwert)

[attach]47536[/attach]

mY+

07.07.2018, 13:11

Frustomatik

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Danke für die Antwort mYthos,
leider komme ich nicht auf die Nebenwerte. Wie bestimme ich diese ?
Super wäre eine allgemeine Onlinereferenz für die Zukunft.

Vielen Dank

07.07.2018, 13:43

HAL 9000

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Aufgrund der Geradheit der Kosinusfunktion (d.h. $\begin{eqnarray*} \cos(-t)=\cos(t) \end{eqnarray*}$ ) bekommst du die zweite Lösungsschar über

$\begin{eqnarray*} 2x-3 = -\arccos(0.4) + 2k\pi \end{eqnarray*}$ .

07.07.2018, 19:03

Frustomatik

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Vielen vielen Dank,
mir ist die Aufgabe nun relativ klar.

Wie verhält es sich mit sin Fkt ?

Die Aufgabe ist:
$\begin{eqnarray*} 6sin(3x-4)=2,4 \end{eqnarray*}$

Nun auflösen nach x:
$\begin{eqnarray*} x=\frac{arcsin(0,4)+4}{3}+\frac{2}{3}k \pi \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x1=1,47... +\frac{2}{3}k\pi \end{eqnarray*}$

Die Geradheit von sin ist sin(t)=sin(\pi -t), ist das richtig ?

$\begin{eqnarray*} x=\frac{(\pi -arcsin(0,4))+4}{3}+\frac{2}{3}k\pi \end{eqnarray*}$

also: $\begin{eqnarray*} x2=2,24... + \frac{2}{3}k\pi \end{eqnarray*}$ ?

07.07.2018, 22:23

mYthos

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So ist es. Es ist zu verwenden:

$\begin{eqnarray*} \sin t = \sin (\pi - t) \end{eqnarray*}$

mY+

08.07.2018, 06:57

HAL 9000

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Begriff "gerade Funktion"

Zitat:

Original von Frustomatik
Die Geradheit von sin ist sin(t)=sin(\pi -t), ist das richtig ?

Inhaltlich richtig, aber da solltest du nicht von Geradheit sprechen. "Gerade Funktion" kennzeichnet speziell die Symmetrie hinsichtlich der Stelle 0, d.h., $\begin{eqnarray*} f(-t)=f(t) \end{eqnarray*}$ .

Hier bei der Sinusfunktion ist es aber die Symmetrie hinsichtlich der Stelle $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ , die sich in der Gleichung $\begin{eqnarray*} \sin(t)=\sin(\pi-t) \end{eqnarray*}$ ausdrückt. Das fällt dann aber nicht mehr unter den Begriff "gerade".

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