Orthonormalbasis Bildung

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Omhuld Auf diesen Beitrag antworten »
Orthonormalbasis Bildung
Hallo Leute,


ich habe diese Matrix gegeben:




Ich soll die Eigenwerte und Eigenvektoren berechnen. Anschließend soll ich die Eigenvektoren normieren, falls dies notwendig ist.

Wann ist dies notwendig und wieso macht man das überhaupt?


Anschließend soll ich sagen, ob die Eigenvektoren eine Orthonormalbasis bilden

Wie bildet man diese und wozu macht man das? Ich kannte bisher nur eine Orthogonalbasis.


Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast nicht Eigenvektoren sondern Eigenräume berechnet, allerdings seltsam geschrieben.
Zum Beispiel ist ein Eigenvektor zum Eigenwert 1 der Vektor (für t=1) , und der zum Eigenwert 1 gehörige Eigenraum ist .
Der Vektor hat die (euklidische) Norm .
Man bevorzugt Orthonormalbasen gegenüber Orthogonalbasen, weil die Basisvektoren dann nicht nur orthogonal zueinander sondern zusätzlich normiert sind (d.h. sie haben Norm 1). Der normierte Eigenvektor ist dann z.B.
Omhuld Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh. Ich wusste nicht, dass es dahingehend Unterschiede gibt. Wir hatten erst einen Vorlesungsblock über dieses Thema.

Vielen Dank, dass du mir den Unterschied zwischen Eigenvektor und Eigenraum gezeigt hast.


Wann muss ich aber jetzt einen Eigenvektor normieren? In der Aufgabenstellung steht " normieren sie falls nötig)
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Jeder der 3 eindimensionalen Eigenräume ist jeweils isomorph zum , enthält also unendlich viele Eigenvektoren. Jeweils genau einer davon hat immer die Norm , jedes reelle Vielfache hat offensichtlich die Norm , und das ist nur gleich für . Was der Gauß-Algorithmus als Eigenraum liefert, ist meistens nicht normiert. In diesem Beispiel musst du alle 3 Vektoren normieren, das erkennst du sofort daran, dass ihre Norm nicht gleich ist.
Omhuld Auf diesen Beitrag antworten »

Ach okay.


Also kurz gesagt: Normieren muss man immer, wenn der Betrag vom Vektor nicht schon null ist?

zB.
Der muss nicht normiert werden.





Der muss normiert werden?

Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Schau auch mal hier rein, da hat ein Kommilitone von dir auch nicht verstanden, was "Normieren, falls notwendig" bedeuten soll, vielleicht hilft dir die Antwort dort auch weiter.
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Normieren "muss" man einen Vektor genau dann, wenn in der Aufgabe steht, dass man ihn normieren "muss" und der Vektor nicht normiert ist. Im übrigen muss in der Mathematik niemand irgend etwas tun, es ist alles freiwillig. Man kann auch einen normierten Vektor normieren, wenn man Spaß daran hat. Augenzwinkern
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Jeweils genau einer davon hat immer die Norm


Nur zur Ergänzung für Omhuld: Mit v ist auch -v ein normierter Eigenvektor. Es gibt also genau zwei solcher Vektoren. Da es sich dabei um den Gegenvektor handelt, hat Elvis ihn vermutlich nicht bedacht.
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