Lagrange-Multiplikaten und implizite Funktionen

23.06.2018, 12:29

Diplomath

Lagrange-Multiplikaten und implizite Funktionen

Meine Frage:
Hallo an alle,

ich habe folgende Aufgabe hier: Mit Hilfe der Multiplikatorenregel von Lagrange bestimme man alle Punkte der Ellispse $\begin{eqnarray*} 5x^2 +5y^2 -8xy = 18 \end{eqnarray*}$ , in denen die Funktion $\begin{eqnarray*} z = x^2+ y^2 \end{eqnarray*}$ das Minimum bzw. Maximum annimmt!

Meine Ideen:
Meine Überlegungen sind, dass diese Lagrange'sche Multiplikationsregel nach expliziten Funktionen verlangt: $\begin{eqnarray*} H(x,y, lam) = f(x,y) + lam g(x,y) \end{eqnarray*}$ ... Also muss ich meine Ellipsengleichung umschreiben als $\begin{eqnarray*} 5x^2 + 5y^2 -8xy - 18 = 0 \end{eqnarray*}$ 1. Frage hier: das ist doch weiterhin eine implizite Funktion oder? Weiterhin verarbeite ich Haupt- und Nebenbedingung als $\begin{eqnarray*} H(x,y,lam) = 5x^2 + 5y^2 -8xy -18 + lam(x^2+y^2) \end{eqnarray*}$ .. dann würde ich den Gradient von H bilden mittels Ableitung, das Gleichungssystem lösen und die stationären Punkte, die sich ergeben auf Maximum bzw. Minimum untersuchen.. Aber irgendwie gefällt mir das Ganze nicht und ich überlege, ob es sich lohnt die Ellipsengleichung und auch die Nebenbedingung in Polarkoordinaten zu überführen... lam := lambda (weiß jemand wie mal das darstellen kann?)

24.06.2018, 12:31

Huggy

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RE: Lagrange-Multiplikaten und implizite Funktionen
Du verwechselst Zielfunktion und Nebenbedingung. Die Zielfunktion, von der du Maxima und Minima bestimmen sollst, ist $\begin{eqnarray*} z=x^2+y^2 \end{eqnarray*}$ . Nebenbedingung ist, dass die $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ auf der gegebenen Ellipse liegen sollen. Nach dieser Korrektur kannst du die Methode mit dem Lagrangemultiplikator geradlinig durchziehen.

$\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ schreibt man so:

code:
1:	[latex]\lambda[/latex]

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