Nochmal: Laurentreihe entwickeln

23.06.2018, 15:13	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Nochmal: Laurentreihe entwickeln Hallo zusammen, schönen Samstag! Ich habe nochmal eine Aufgabe bezüglich Entwicklung einer Laurentreihe: [attach]47542[/attach] Allgemein gilt: $\begin{eqnarray} \frac{1}{z^{2}(z+i)} = \frac{1}{z} + \frac{-i}{z^{2}} + \frac{-1}{z+i} = -iz^{-2} + z^{-1} + i\cdot\frac{1}{1-\big(\frac{z}{-i}\big)} \end{eqnarray}$ Meine Ideen zu a) Es ist $\begin{eqnarray} 0<\big\|\frac{z}{-i}\big\|<1 \end{eqnarray}$ , also kann ich die geometrische Reihe auf den Bruch anwenden. $\begin{eqnarray} \frac{1}{1-\big(\frac{z}{-i}\big)} = \frac{1}{1-i\cdot z} = \sum\limits_{k=0}^{\infty}i^{k}z^{k} \end{eqnarray}$ Die gesuchte Laurentreihe ist also $\begin{eqnarray} -iz^{-2} + z^{-1} + \sum\limits_{k=0}^{\infty}i^{k+1}z^{k} \end{eqnarray}$ bei b) habe ich raus: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}(-1)^{k}i^{(k-3)}z^{-k} \end{eqnarray}$ Soweit ok? Bei c) weiß ich leider nicht weiter. Ich weiß, ich habe $\begin{eqnarray} 0<\|z-z_{0}\|<1 \end{eqnarray}$ , aber ich weiß nicht, wie ich das umsetzen kann. Könnt ihr mir auf die Sprünge helfen?

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