Abgeschlossenheit von C

24.06.2018, 00:57

Pippen

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Abgeschlossenheit von C

Im Bereich von IR gibt es unmögliche Gleichungen wie x² = -1. Gibt es sowas auch in C oder ist C insoweit abgeschlossen? ME gibt es sowas, zB y + x = y soweit x $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ (0,0). Das legt die Vermutung nahe, dass es überhaupt keinen Zahlbereich gibt, der in dieser Weise abgeschlossen ist und man immer etwas finden kann, was dort unlösbar ist, so dass man unendlich viele Zahlbereiche konstruieren könnte.

Ist das richtig gedacht und wird sowas untersucht bzw. gibt's dazu Theoreme?

24.06.2018, 02:22

zweiundvierzig

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Die komplexen Zahlen sind algebraisch abgeschlossen, d.h. jedes (nichtkonstante) Polynom in einer Variablen zerfällt vollständig in Linearfaktoren (Fundamentalsatz der Algebra). Die reellen Zahlen haben diese Eigenschaft nicht.

Siehe auch: Algebraischer Abschluss

24.06.2018, 11:38

Elvis

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x²=-1 ist auch über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ eine mögliche Gleichung, sie hat nur in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ keine Lösung.

24.06.2018, 16:34

Pippen

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Zitat:

Original von Elvis
x²=-1 ist auch über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ eine mögliche Gleichung, sie hat nur in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ keine Lösung.

Ok, aber genauso ist y+x=y & x ungleich (0,0) über C eine mögliche Gleichung, die hat nur in C keine Lösung oder gilt das durch die zusätzliche Bedingung nicht mehr als Gleichung?

24.06.2018, 17:30

tatmas

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Hallo,

Zitat:

Ok, aber genauso ist y+x=y & x ungleich (0,0) über C eine mögliche Gleichung, die hat nur in C keine Lösung oder gilt das durch die zusätzliche Bedingung nicht mehr als Gleichung?

die Gleichung y+x=y ist äquivalent zu x=0 hat also in $\begin{eqnarray*} \mathbb C^2 \end{eqnarray*}$ (!) die Lösungen (0,y), also durchaus welche.
Und den Begriff einer "möglichen Gleichung" hab ich noch nie gehört. Da müsstest du mal klarer fassen was du darunter verstehst.
Eine Gleichung ist es. Daran ändern auch Einschränkungen an deren Lösungsmenge nichts.

Zitat:

so dass man unendlich viele Zahlbereiche konstruieren könnte.

Das kann man.

24.06.2018, 17:58

Elvis

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Über Zahlen gibt es nicht nur sehr viele Theoreme, es gibt eine große, außerordentlich interessante und wichtige mathematische Disziplin, die Zahlentheorie. ( https://de.wikipedia.org/wiki/Zahlentheorie )
C.F. Gauß hat gesagt: "Die Mathematik ist die Königin der Wissenschaften und die Arithmetik (gemeint ist die Zahlentheorie) ist die Krone der Mathematik" (oder so ähnlich).

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24.06.2018, 21:10

Pippen

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Zitat:

Original von tatmas
Hallo,

Zitat:

Ok, aber genauso ist y+x=y & x ungleich (0,0) über C eine mögliche Gleichung, die hat nur in C keine Lösung oder gilt das durch die zusätzliche Bedingung nicht mehr als Gleichung?

die Gleichung y+x=y ist äquivalent zu x=0 hat also in $\begin{eqnarray*} \mathbb C^2 \end{eqnarray*}$ (!) die Lösungen (0,y), also durchaus welche.

Moment, da muss ich nachhaken, auch weil ich mit C nicht firm bin: ME hat die Gleichung y+x=y in den komplexen Zahlen keine Lösung, wenn wir verbieten, dass x = (0,0) ist. Dadurch könnte man nun eine neue Zahl konstruieren, wo dieses "Ding" doch eine Lösung hat und immer so weiter. Wenn wir nur Gleichungen und keine Zusatzbedingungen zulassen, dann dürfte C abgeschlossen sein, wie 42 bereits bemerkte.

@Elvis: Hilbert hätte Gauß widersprochen. smile

smile

24.06.2018, 22:54

zweiundvierzig

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Die Gleichung $\begin{eqnarray*} x+y=y \end{eqnarray*}$ in den Variablen $\begin{eqnarray*} x,y, \end{eqnarray*}$ ist in jeder (abelschen) Gruppe $\begin{eqnarray*} (A,+,0) \end{eqnarray*}$ (also insbes. in jedem Körper oder Vektorraum) äquivalent zu $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ , die Lösungsmenge ist $\begin{eqnarray*} \{(0,b)~ | ~ b \in A\} \subset A^2 \end{eqnarray*}$ . Wenn du aus dieser Menge jetzt die Lösung $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ entfernen willst, bleiben immer noch andere Lösungen übrig, sofern $\begin{eqnarray*} A \neq \{0\} \end{eqnarray*}$ .

Algebraische Abgeschlossenheit eines Körpers bedeutet die Lösbarkeit aller Gleichungen von nichtkonstanten Polynomen in einer Variablen über diesem Körper. Möchte man nur bestimmte Gleichungen über einem Körper lösen, so kann man den entsprechenden Zerfällungskörper betrachten.

Für Systeme von Polynomen in mehreren Variablen bilden die Nullstellenmengen geometrische (bzw. topologische) Objekte, nämlich algebraische Varietäten. Man denke z.B. an Kegelschnitte aus der analytischen Geometrie.

Hat man eine Lösungsmenge bestimmt, kann man natürlich immer ansetzen zu untersuchen, wie sich diese verändert, wenn man bestimmte Bedingungen hinzufügt.

Mir ist immer noch nicht klar, was du mit

Zitat:

Dadurch könnte man nun eine neue Zahl konstruieren, wo dieses "Ding" doch eine Lösung hat und immer so weiter.

meinst.

25.06.2018, 06:49

TomS

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RE: Abgeschlossenheit von C

Zitat:

Original von Pippen
Im Bereich von IR gibt es unmögliche Gleichungen wie x² = -1. Gibt es sowas auch in C oder ist C insoweit abgeschlossen? ME gibt es sowas, zB y + x = y soweit x $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ (0,0). Das legt die Vermutung nahe, dass es überhaupt keinen Zahlbereich gibt, der in dieser Weise abgeschlossen ist ...

Pippen, Abgeschlossenheit bezieht sich auf eine bestimmte mathematische Operation, im vorliegenden Fall auf die algebraische Abgeschlossenheit der komplexen Zahlen bezüglich der Lösbarkeit von Polynomgleichungen.

Auch in deinem Fall liegt algebraische Abgeschlossenheit vor, du fügst lediglich künstlich eine Bedingung hinzu, die im Nachhinein die Lösbarkeit von x² = -1 eliminiert. Du betrachtest letztlich die Menge

$\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \setminus \{0\} \end{eqnarray*}$

und die ist tatsächlich nicht in diesem Sinne abgeschlossen; sie hat auch sonst diverse “kranke” Eigenschaften, z.B. ist die Gleichung 1 + 0 = 1 nicht mehr formulierbar.

quote]Original von Pippen
... und man immer etwas finden kann, was dort unlösbar ist ...[/quote]
Natürlich.

Betrachte die Gleichung

$\begin{eqnarray*} 1+ |z| = 1/2 \end{eqnarray*}$

Sie ist über den komplexen Zahlen unlösbar.

25.06.2018, 10:53

HAL 9000

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@Pippen

Auch $\begin{eqnarray*} e^z=0 \end{eqnarray*}$ hat keine Lösung, wiewohl es für nichtkonstante ganze Funktionen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ tatsächlich nicht allzu viele Konstanten $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} f(z)=c \end{eqnarray*}$ keine Lösung hat. Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.06.2018, 11:32

Elvis

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Zitat:

Original von Pippen
@Elvis: Hilbert hätte Gauß widersprochen. smile

smile

Das hat Hilbert sicher nicht getan, ganz im Gegenteil. Hilbert war Zahlentheoretiker in Göttingen, sein "Zahlbericht" steht in der Folge hervorragender zahlentheoretischer Arbeiten voll und ganz in der Tradition von Gauß "Disquisitiones Arithmeticae".

Du suchst nach Problemen, wo keine sind. Deine Intelligenz wäre besser geeignet, ein paar der unendlich vielen offenen Probleme zu bearbeiten oder gar zu lösen.

25.06.2018, 13:10

Pippen

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Zitat:

Original von zweiundvierzig
Die Gleichung $\begin{eqnarray*} x+y=y \end{eqnarray*}$ in den Variablen $\begin{eqnarray*} x,y, \end{eqnarray*}$ ist in jeder (abelschen) Gruppe $\begin{eqnarray*} (A,+,0) \end{eqnarray*}$ (also insbes. in jedem Körper oder Vektorraum) äquivalent zu $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ , die Lösungsmenge ist $\begin{eqnarray*} \{(0,b) ~ | ~ b \in A\} \subset A^2 \end{eqnarray*}$ . Wenn du aus dieser Menge jetzt die Lösung $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ entfernen willst, bleiben immer noch andere Lösungen übrig, sofern $\begin{eqnarray*} A \neq \{0\} \end{eqnarray*}$ .

Da will ich nochmal einhaken, denn da scheint mein Verständnis von komplexen Zahlen mich zu verlassen, nicht vergessen: ich bin letztlich nur interessierter Laie.

Ich weiß komplexe Zahlen werden u.a. als Paar (a,b) repräsentiert und darauf ist eine Addition definiert: (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d). Wenn ich jetzt also die Gleichung (a,b) + (c,d) = (a,b) lösen will und ausschließe, dass (c,d) = (0,0) sein darf, wie soll so eine Gleichung eine Lösung haben?

Zitat:

Original von TomS
Betrachte die Gleichung

$\begin{eqnarray*} 1+ |z| = 1/2 \end{eqnarray*}$

Sie ist über den komplexen Zahlen unlösbar.

Wie würde diese Gleichung in o.g. Schreibweise mit Paaren aussehen?

25.06.2018, 13:43

HAL 9000

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Zitat:

Original von Pippen
Wenn ich jetzt also die Gleichung (a,b) + (c,d) = (a,b) lösen will und ausschließe, dass (c,d) = (0,0) sein darf, wie soll so eine Gleichung eine Lösung haben?

Ja, sie hat keine Lösung - und? Das kannst du doch in jedem Raum, mit jeder Gleichung machen: Einfach die Lösungsmenge der Gleichung nehmen, die Definitionsmenge um diese Lösungsmenge vermindern,
dann hat die Gleichung auf dieser neuen (reduzierten) Definitionsmenge eben keine Lösung mehr.

Ein Gedankenexperiment, zu dem mir einfällt, was Elvis oben schon sagte: "Du suchst nach Problemen, wo keine sind."

Der polemische Unterton "wie soll so eine Gleichung eine Lösung haben?" beschwört einen vermeintlichen Konflikt zu einer Aussage, die gar keiner getätigt hat, die du vielleicht nur meinst irgendwo herausgelesen zu haben.

Zitat:

Original von Pippen
nicht vergessen: ich bin letztlich nur interessierter Laie.

Wenn du dich immer nur dahinter versteckst, dann besteht die Gefahr, dass man dich irgendwann nicht mehr als "Laien" sondern als "Stümper" betrachtet.

25.06.2018, 23:30

Pippen

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RE: Abgeschlossenheit von C

Zitat:

Original von HAL 9000
Ja, sie hat keine Lösung - und? Das kannst du doch in jedem Raum, mit jeder Gleichung machen: Einfach die Lösungsmenge der Gleichung nehmen, die Definitionsmenge um diese Lösungsmenge vermindern,
dann hat die Gleichung auf dieser neuen (reduzierten) Definitionsmenge eben keine Lösung mehr.

Nimm einen Zahlenbereich, der nur die Zahl 0 kennt und die Addition. Da geht das mE nicht mehr, da kannst du die Definitionsmenge nicht mehr um die Lösungsmenge vermindern, weil du damit den Zahlenbereich verläßt. Damit wäre in diesem Zahlenbereich alles lösbar, no matter what, freilich um den Preis einer ziemlich trivialen und uninteressanten Struktur, aber ich hätte dich immerhin widerlegt. Wink

Wink

Ist ein Zahlensystem mächtig genug, dann ist es auch löchrig genug, um immer Unlösbarkeiten zu produzieren, die dann Ansatz für neue Zahlsysteme bieten können. So wurden die ganzen Zahlen aus Unlösbarkeiten der nat. Zahlen geboren, die rationalen Zahlen aus Unlösbarkeiten der ganzen Zahlen, die reellen Zahlen aus Unlösbarkeiten der rationalen Zahlen und die komplexen Zahlen aus Unlösbarkeiten der reellen Zahlen, aber dann scheint Schluß und das machte mich stutzig: es gibt zwar Weiterentwicklungen (hyperkomplexe Zahlen), aber da lese ich nichts davon, dass die entwickelt wurden, weil irgendwas in C nicht klappte, so wie x²= -1 in IR eben unmöglich ist, sondern es scheint, die wurden "nur" entwickelt, weil damit irgendwas leichter von der Hand geht, so ähnlich wie das Dezimalsystem auch "nur" ästhetische und praktische Gründe hat

26.06.2018, 01:05

TomS

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Zitat:

Zitat:

Original von TomS
Betrachte die Gleichung

$\begin{eqnarray*} 1+ |z| = 1/2 \end{eqnarray*}$

Sie ist über den komplexen Zahlen unlösbar.

Wie würde diese Gleichung in o.g. Schreibweise mit Paaren aussehen?

$\begin{eqnarray*} 1+x^2+y^2 = 1/2 \end{eqnarray*}$

26.06.2018, 01:10

TomS

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RE: Abgeschlossenheit von C

Zitat:

Original von Pippen
So wurden die ganzen Zahlen aus Unlösbarkeiten der nat. Zahlen geboren, die rationalen Zahlen aus Unlösbarkeiten der ganzen Zahlen, die reellen Zahlen aus Unlösbarkeiten der rationalen Zahlen und die komplexen Zahlen aus Unlösbarkeiten der reellen Zahlen, aber dann scheint Schluß ...

Betrachte

$\begin{eqnarray*} pq-qp = c \neq 0 \end{eqnarray*}$

Diese Gleichung hat für gegebes c keine Lösung p,q in den komplexen Zahlen.

26.06.2018, 09:24

HAL 9000

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Zitat:

Original von Pippen
da kannst du die Definitionsmenge nicht mehr um die Lösungsmenge vermindern, weil du damit den Zahlenbereich verläßt.

Klar kann ich, die Definitionsmenge ist dann leer, womit auch die Lösungsmenge leer ist. Wenn du solche extremen Trivialfälle aufs Tapet bringst, dann denk sie auch konsequent zu Ende.

Zitat:

Original von Pippen
Damit wäre in diesem Zahlenbereich alles lösbar, no matter what

Unsinn: "Lösbar" heißt, dass die Lösungsmenge der Gleichung nichtleer ist, und die Lösungsmenge ist trivialerweise eine Teilmenge der Definitionsmenge der Gleichung.

Zitat:

Original von Pippen
aber ich hätte dich immerhin widerlegt. Wink

Wink

Äußerst interessante Diskussionen über die leere Menge, die du da führst, aber Hauptsache, du hast vermeintlich jemanden "widerlegt". Und wieder eine Bestätigung von "Du suchst nach Problemen, wo keine sind." ROFL

ROFL

26.06.2018, 23:40

Pippen

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von Pippen
da kannst du die Definitionsmenge nicht mehr um die Lösungsmenge vermindern, weil du damit den Zahlenbereich verläßt.

Klar kann ich, die Definitionsmenge ist dann leer, womit auch die Lösungsmenge leer ist.

Stimmt...und genau deshalb lohnen sich solche Diskussionen; für mich, weil ich meine Fehler einsehe, für dich, weil du verhinderst, dass ich damit andere infizieren kann.

Als Abschluss halte ich fest: Es gibt in jedem denkbaren Zahlenbereich mit mind. einer Operation unlösbare Gleichungen, wenn man freie Hand hat, die Definitionsmenge dafür einzuschränken.

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