Beschränktheit einer rekursiven Folge beweisen

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Maddus Auf diesen Beitrag antworten »
Beschränktheit einer rekursiven Folge beweisen
Meine Frage:
Gegeben ist die rekursiv de?nierte Folge A(n+1)= A(n)/A(n)+2 mit A(1) = 1 und n ? N

a) Zeigen Sie, dass A(n) beschränkt ist und 0 ? A(n) ? 1 gilt.

b) Zeigen Sie, dass die Folge monoton fallend ist.



Meine Ideen:
Wie führt man den Induktionsschritt richtig aus. Welche Umformungen muss ich machen?

Hier mein Versuch:


Indukutions Anfang: A(2) = 1/(1/2) = 1/3 0 < 1/3 <= 1 stimmt!

Induktions Schritt: 0 < A(n) < = 1

Auf allen Seiten mal 1/A(n)+2

0 < A(n)/A(n)+2 <= 1/A(n) +2
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
zunächst einmal solltest du an deiner Schreibweise arbeiten.
So wie du es hier aufgeschrieben hast, steht da:
Augenzwinkern
Aus dem Kontext schließe ich aber, dass du meinst.
Außerdem stehen auch ein paar Fragezeichen in deinen Formeln, wo du anscheinend Ungleichheitszeichen schreiben wolltest.
Auch bei deinem Induktionsanfang meinst du sicher:
und nicht .

Zum Induktionsschritt:
Betrachte doch einfach mal deinen Bruch
Was weißt du über Zähler und Nenner?
Da , ist ja auch und somit der komplette Bruch.
Außerdem ist , daher .
Die Beschränktheit hast du ja jetzt automatisch durch die 1 nachgewiesen.

Fehlt noch Teil b), die Monotonie. Jetzt du Augenzwinkern
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Sollt es um gehen... man kann auch zunächst die ersten paar Folgenglieder ausrechnen:

.

Hier mag dem einen oder anderen schon das Bildungsgesetz der Folge auffallen: .

Das kann man dann auch per vollständiger Induktion beweisen. Die Punkte a),b) fallen dann als bloße Folgerungen ab.
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