Lineare Abbildung - Eigenwert finden

25.06.2018, 13:39

Samson17

Lineare Abbildung - Eigenwert finden

Hallo,

ich sitze gerade vor folgender Aufgabe

Für eine ansonsten unbekannte lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} F: V \rightarrow W \end{eqnarray*}$ mit F(v1)=0 mit $\begin{eqnarray*} v_1\neq 0 \end{eqnarray*}$ und w=F(v2) mit $\begin{eqnarray*} w\neq 0 \end{eqnarray*}$ .
a) Eigenwert für die Abbildung ist gesucht
b) Warum gibt es von v2 verschiedene Vektor vi aus V mit $\begin{eqnarray*} F(v_i) =w \end{eqnarray*}$ ?

So richtig weiß ich nicht, was zu tun ist.
Vor allem Frage ich mich bei b), wie man überhaupt darauf kommt, dass verschiedene Vektoren auf w abbilden verwirrt

a) Ich würde sagen, dass ein Eigenwert 0 ist, da auf Null abgebildet wird?!

b) Liegt es daran, dass der Eigenwert 0 ist?

Über Anregungen würde ich mich freuen, damit ich vielleicht selbst auf die Lösung des Problems komme.

Schöne Grüße,

Samson Wink

25.06.2018, 13:49

HAL 9000

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Zitat:

Original von Samson17
a) Ich würde sagen, dass ein Eigenwert 0 ist, da auf Null abgebildet wird?!

Richtig, aber es müsste genauer heißen: "... da es einen Nichtnullvektor gibt, der auf Null abgebildet wird."

Die Frage müsste überhaupt genauer sein nach einem Eigenwert für die Abbildung. Es kann durchaus weitere geben.

Zu b) Denk z.B. mal über $\begin{eqnarray*} F(v_1+v_2) \end{eqnarray*}$ nach.

25.06.2018, 16:18

Samson17

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Danke dir! Aufgabe a) habe ich verstanden smile

Zu b) F(v1+v2) würde ebenfalls auf w abbilden, da F(v1) = 0 ist. Und v1 darf alles sein außer Null (und v2).

Heißt also, egal wie ich die Vektoren setze, es wird immer auf w abgebildet. verwirrt

25.06.2018, 16:24

HAL 9000

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Zitat:

Original von Samson17
Und v1 darf alles sein außer Null [...] Heißt also, egal wie ich die Vektoren setze, es wird immer auf w abgebildet. verwirrt

Allem Anschein nach missverstehst du komplett das $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ :

Es ist nicht so gemeint, dass $\begin{eqnarray*} F(v_1)=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} v_1\neq 0 \end{eqnarray*}$ gilt - sondern nur, dass ein $\begin{eqnarray*} v_1\neq 0 \end{eqnarray*}$ existiert mit $\begin{eqnarray*} F(v_1)=0 \end{eqnarray*}$ !!! unglücklich

Du kannst also $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ nicht frei wählen, es ist (gebunden an Abbildung $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ ) fest vorgegeben!

25.06.2018, 16:52

Samson17

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Danke dir. Ja, ich hab das v1 missverstanden Hammer

Ich stehe weiterhin bei b) auf dem Schlauch...
Mit w ist aber auch nur ein w gemeint, oder?

Vielleicht bekomme ich noch die Erleuchtung smile

25.06.2018, 16:58

HAL 9000

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Ebenso wie $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ ist auch $\begin{eqnarray*} v_2 \end{eqnarray*}$ ein fest vorgegebener Vektor, aber einer mit Funktionswert ungleich Nullvektor. Eben dieser Funktionswert wird mit $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ bezeichnet, sonst steckt nichts tiefsinniges dahinter. Betrachte also $\begin{eqnarray*} v_1,v_2,w \end{eqnarray*}$ einfach als drei fest vorgegeben Vektoren, wobei die letzten beiden über $\begin{eqnarray*} F(v_2)=w \end{eqnarray*}$ zusammenhängen und für den ersteren $\begin{eqnarray*} F(v_1)=0 \end{eqnarray*}$ gilt.

Ich gebe zu, wenn man noch etwas wacklig auf dem Gebiet hier ist, dann wünscht man sich eine bessere Erklärung in der Aufgabenstellung als dies mit

Zitat:

Original von Samson17
mit F(v1)=0 mit $\begin{eqnarray*} v_1\neq 0 \end{eqnarray*}$ und w=F(v2) mit $\begin{eqnarray*} w\neq 0 \end{eqnarray*}$ .

da geschehen ist. Augenzwinkern

27.06.2018, 10:25

Samson17

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Guten Morgen,

danke dir erstmal!

Ich bin immer noch zu keiner Erkenntnis gekommen. Mich ärgert das tierisch unglücklich

27.06.2018, 13:48

HAL 9000

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Ich hatte angenommen, alle Fragen sind geklärt? verwirrt

27.06.2018, 18:50

Samson17

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Ja, was v1, v2 und w sind, ist mittlerweile klar.

Aber ich stehe sowas von auf der Leitung..Faser, Kern, Bild etc. komme ich mittlerweile echt gut klar, aber diese Aufgabe ist mir überhaupt nicht klar.

Wenn ich F(v1) = 0 habe, geht dies ja nur, wenn meine Abbildungsmatrix nur Nullen enthält.
Annahme: v1 hat n Einträge x1....xn (als Spalten). Dann müsste die Zeile in der Abbildungsmatrix nur Nullen enthalten, denn es gilt F(v1) = A * (x1...xn).

Das hilft mir aber momentan auch noch nicht weiter.

Das ist ein Highlight, dass ich mal so lange für eine Lösung brauche.
Im Nachhinein ist es bestimmt gar nicht so schwer Hammer

27.06.2018, 19:16

HAL 9000

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Zitat:

Original von Samson17
Wenn ich F(v1) = 0 habe, geht dies ja nur, wenn meine Abbildungsmatrix nur Nullen enthält.

Nein.

27.06.2018, 20:32

Samson17

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Magst du mich erlösen?

Es kann ja nicht so schwer sein verwirrt

Ich wäre dir sehr dankbar! Freude

(Warum es nicht nur Nullen sein können, hab ich mittlerweile begriffen)

27.06.2018, 20:39

HAL 9000

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Ich weiß nicht, was du noch willst? 0 ist Eigenwert mit zugehörigem Eigenvektor $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ , also ändert ein Hinzufügen von $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ oder Vielfachen davon nichts am Funktionswert, d.h., es ist

$\begin{eqnarray*} w = F(v_2) = F(v_2+tv_1) \end{eqnarray*}$ für alle reellen Zahlen $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ .

Das ist alles, mehr muss man doch bei b) nicht sagen. unglücklich

28.06.2018, 11:14

Samson17

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Oh wie doof ich doch war! Hammer

F(v1+v2) = w hatte ich ja erkannt (s.o). Mir war aber nicht klar, dass die Aufgabe auf t*v1+v2 aus war verwirrt

Danke!

28.06.2018, 17:41

HAL 9000

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Eigentlich reicht das auch für nur den einen Wert $\begin{eqnarray*} t=1 \end{eqnarray*}$ , denn die Aufgabenstellung war ja nur, einen von $\begin{eqnarray*} v_2 \end{eqnarray*}$ verschiedenen Vektor $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} F(v)=w \end{eqnarray*}$ zu finden, und das erfüllt bereits der eine $\begin{eqnarray*} v=v_1+v_2 \end{eqnarray*}$ . Deswegen ja mein Hinweis gleich in meinem ersten Beitrag oben

Zitat:

Original von HAL 9000
Zu b) Denk z.B. mal über $\begin{eqnarray*} F(v_1+v_2) \end{eqnarray*}$ nach.

aber der wurde wohl nicht richtig wahrgenommen.

28.06.2018, 17:59

Samson17

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Zitat:

Original von Samson17
Danke dir! Aufgabe a) habe ich verstanden smile

Zu b) F(v1+v2) würde ebenfalls auf w abbilden, da F(v1) = 0 ist. verwirrt

Doch, hab ich wahrgenommen smile

Ich hoffe einfach mal, dass die Aufgaben in den Prüfungen klarer sind.

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