Konvergenzradius

25.06.2018, 16:34	ssuaG	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzradius Meine Frage: Hallo zusammen Ich hab hier eine Verständnisfrage : Die Potenzreihenentwicklung $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{\infty } a_{n} z^{n} \end{eqnarray}$ der Fkt. $\begin{eqnarray} \sin(z) /\cos(z) \end{eqnarray}$ um 0 hat den Konvergenzradius pi/2 . Leider kann ich dies irgendwie nicht nachvollziehen. Bitte daher um eure Hilfe. Meine Ideen: Entwicklungspkt. ist 0 und man kann Sin und Cos in seine Potenzreihenentwicklung umschreiben oder auch imaginär darstellen. Mit der Formel für den Konv.Radius mittels Wurzelkriterium, komme ich leider nicht auf pi/2. R = 1/ $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \|a_{n}\| ^{1/n} \end{eqnarray}$ = pi/2
25.06.2018, 16:55	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit welchen Koeffizienten $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ arbeitest du denn da eigentlich? Wenn es die der Potenzreihe des gesamten Quotienten sind, also der Tangens-Potenzreihe, dann frage ich mich wie du diesen Grenzwert ermitteln willst angesichts der schwierig zu handhabenden Bernoulli-Zahlen, die da in diesen Koeffizienten auftauchen... Einfacher ist folgender Zugang: Der Quotient zweier auf einem Gebiet $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ holomorphen Funktionen ist wieder holomorph, sofern die Nennerfunktion in dem Gebiet keine Nullstellen hat. Das ist hier für deine Funktionen $\begin{eqnarray} \sin(z),\cos(z) \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} G = \left\{ z \mid \|z\|<\frac{\pi}{2} \right\} \end{eqnarray}$ der Fall, also kann dort $\begin{eqnarray} \frac{\sin(z)}{\cos(z)} \end{eqnarray}$ in eine Potenzreihe entwickelt werden, es ist also $\begin{eqnarray} R\geq \frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ . Andererseits haben wir auf dem Rand von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ wegen $\begin{eqnarray} \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 \end{eqnarray}$ eine Singularität, was zwangsläufig zu $\begin{eqnarray} R\leq \frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ führt.
25.06.2018, 20:37	ssuaG	Auf diesen Beitrag antworten »
Das hab ich mich auch gefragt und kam daher einfach nicht weiter. Vielen Dank für die Antwort! Jetzt kann ich es auch nachvollziehen

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