Komplexe Gleichung nach einer Variablen umstellen

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Silencium92 Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Gleichung nach einer Variablen umstellen
Hallo,

man betrachte die komplexe Abbildung



mit den reellen Parametern a,b,c.

Gesucht ist ein für das folgende Relation gilt



Ansatz:





Wie müsste man weiter vorgehen um das gesuchte zu finden?

Gruß
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Gleichung nach einer Variablen umstellen
Es dürfte von den konkreten Werten von abhängen, ob es Lösungen gibt. Setzt man



erfordert



Mit den Abkürzungen und erhält man die Gleichung



mit . Auf der rechten Seite muss also eine nicht negative reelle Zahl stehen. Zerlegt man die rechte Seite in den Real- und den Imaginärteil, muss der Imaginärteil Null werden. Das führt zu einer quadratischen Gleichung in bzw. . Hat diese Lösungen, kann man sie in den Realteil einsetzen und schauen, ob das Ergebnis nicht negativ ist.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Gleichung nach einer Variablen umstellen
Ich biete Big Laugh
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, wir können ja auch anstreben, nicht nur eine sondern alle Lösungen bestimmen, also eine echte Gleichungslösung:

ist Lösung klar, sei also im folgenden .


Offenkundig ist



Kürzen wir zunächst mal sowie ab, d.h., ist irgendeine komplexe Zahl auf dem Einheitskreis, und somit auf jeden Fall . Dann ist gleichbedeutend mit

.

Das bedeutet:

1) Im Fall sind alle komplexen x Lösung der Gleichung.

2) Alle mit sind Lösung, also der gesamte Einheitskreis.

3) Weitere Lösungen können sich höchstens bei Nullsetzen der hinteren Klammer ergeben, das bedeutet . Wegen erfordert das zwingend Bedingung , ist diese erfüllt, dann sind alle mit Lösung.


P.S.: Ich hoffe, ich hab mich jetzt nicht irgendwo verrechnet. Augenzwinkern
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