Darstellungsmatrix/Kern von Quotientenraum

26.06.2018, 19:36	YouAndMe	Auf diesen Beitrag antworten »
Darstellungsmatrix/Kern von Quotientenraum Hallo, ich könnte Hilfe bei der folgenden Aufgabe gebrauchen. a) und b) konnte ich soweit lösen, bei c) komme ich leider nicht weiter. Für die Darstellungsmatrix und den Kern bräuchte ich ja die Abbildung phi-Strich, ich tue mich nur irgendwie schwer damit, diese zu berechnen... Oder gibt es einen einfacheren oder auch eleganteren Weg, an die Darstellungsmatrix und den Kern zu kommen. Ich bin für jede Hilfe dankbar.
27.06.2018, 14:09	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie hast du in b) die Existenz von $\begin{eqnarray} \overline {\varphi} \end{eqnarray}$ bewiesen ohne diese Abbildung zu konstruieren ? Wenn du sie konstruierst, kannst du sie in c) verwenden, um die Darstellungsmatrix zu bauen, und mit der Darstellungsmatrix berechnest du den Kern.
27.06.2018, 16:32	YouAndMe	Auf diesen Beitrag antworten »
Dies habe ich aus einem Satz aus meinem Skript, aus dem Homomorphiesatz. Dieser besagt, dass es für zwei Vektorräume V, W und einen Unterraum U von V mit $\begin{eqnarray} U\subset Kern(f) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f\in Hom(V, W) \end{eqnarray}$ eine eindeutige lineare Abbildung $\begin{eqnarray} g:V/U->W\ mit\ f=g(Verkettung)\pi \end{eqnarray}$ gibt. Ich habe also gezeigt, dass U eine Teilmenge des Kerns ist und der Satz ist dann ja anwendbar. Wahrscheinlich hätte ich noch die Abbildung bestimmt, was ich ja für c) sowieso brauche, aber ich komme irgendwie nicht so ganz darauf, wie ich das machen soll :/
27.06.2018, 18:28	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
In a) wird gezeigt, wie eine Basis des Quotientenraumes aussieht. Auf dieser Basis kann man die lineare Abbildung $\begin{eqnarray} \overline {\varphi} \end{eqnarray}$ so definieren, dass sie mit $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ verknüpft gerade die bekannte Abbildung $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ ergibt. Das ist sehr konstruktiv, anschaulich, lehrreich, hilfreich und zielführend. Ausnahmsweise ist das mal eine Aufgabe für Praktiker (wie dich ?) und nicht für Theoretiker (wie mich). Als Theoretiker würde ich mir den Beweis deines Satzes genauer ansehen und darin konstruktive Anleitung suchen, aber die Idee mit der Basis ist bestimmt direkter und schneller.
27.06.2018, 19:33	YouAndMe	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich die Idee mit der Basis richtig verstanden habe, erhalte ich als Abbildungsvorschrift $\begin{eqnarray} 2x_{1} -x_{2} \end{eqnarray}$ . Die Darstellungsmatrix ist dann $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Der Kern ist dann das Erzeugnis von $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Wenn dies so stimmen sollte, dann danke ich erst einmal für deinen Hinweis mit der Basis. Du hast ja schon angedeutet, dass es auch einen theoretischen Weg gibt. Aus Interesse würde ich dich fragen, ob du ihn einmal erklären kannst
28.06.2018, 14:19	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich komme auf direktem Weg dahin, wo ich hin will. Es ist doch $\begin{eqnarray} e_1+e_2+e_3\in U \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} e_3+U=-e_1-e_2+U \end{eqnarray}$ . Für die Basen $\begin{eqnarray} \{e_1,e_2,e_3\} \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \{\overline e_1,\overline e_2\} \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} \mathbb R^3/U \end{eqnarray}$ bekomme ich damit die Darstellungsmatrix $\begin{eqnarray} M_{\pi}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Die Darstellungsmatrix von $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} M_{\varphi}=(2,-1,-1) \end{eqnarray}$ , und wenn $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ über den Quotientenraum faktorisiert, dann gilt $\begin{eqnarray} M_{\overline {\varphi}}M_{\pi}=(a,b)\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}=(a,b,-a-b)=M_{\varphi}=(2,-1,-1) \end{eqnarray}$ . Aus $\begin{eqnarray} a=2,b=-1 \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} -a-b=-1 \end{eqnarray}$ , und die Welt ist in Ordnung.
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