Runge-Kutta-Verfahren für Systeme erster Ordnung

26.06.2018, 20:08

Helena1

Runge-Kutta-Verfahren für Systeme erster Ordnung

Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich mach gerade eine Aufgabe aber irgendwie komme ich nicht auf das Ergebnis was mein Prof hat.
Lösen Sie das AWP
y''=2y'-y
y(0)=0
y(0)=1
numerisch mit dem klassischen Runge-Kutta-Verfahren für Systeme erster Ordnung an der
Stelle x = 0, 25 (ein Schritt mit der Schrittweite h = 0, 25).

Vergleichen Sie den Näherungswert mit der exakten Lösung $\begin{eqnarray*} y(x)=(1+x)*e^{x} \end{eqnarray*}$ .

Meine Lösung:
$\begin{eqnarray*} k_{1}=\vec{f}(x_{0},\vec{y_{0} } )=\vec{f}(0,1,2)=\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k_{2}=\vec{f}(x_{0}+\frac{h}{2} ,\vec{y_{0}+\frac{h}{2}*\vec{k_{1} } } )=\vec{f}(\frac{1}{8},\frac{5}{4}, \frac{19}{8} )=\begin{pmatrix} \frac{19}{18} \\ \frac{7}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k_{3}=\vec{f}(x_{0}+\frac{h}{2} ,\vec{y_{0}+\frac{h}{2}*\vec{k_{2} } } )=\vec{f}(\frac{1}{8},\frac{163}{144}, \frac{39}{16} )=\begin{pmatrix} \frac{39}{16} \\ \frac{539}{144} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k_{4}=\vec{f}(x_{0}+\frac{h}{2} ,\vec{y_{0}+\frac{h}{2}*\vec{k_{3} } } )=\vec{f}(\frac{1}{8},\frac{163}{144}, frac{39}{16} )=\begin{pmatrix} \frac{39}{16} \\ \frac{539}{144} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Bei $\begin{eqnarray*} k_{4} \end{eqnarray*}$ bin ich mir nicht sicher.

26.06.2018, 20:13

Helena1

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Sorry für k_4 hab ich dieses Ergebnis.
$\begin{eqnarray*} k_{4}=\vec{f}(\frac{1}{8},\frac{167}{128},\frac{2843}{1152}) =\begin{pmatrix} \frac{2843}{1152} \\ \frac{4183}{1152} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

26.06.2018, 22:50

HAL 9000

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passt nicht

Zitat:

Original von Helena1
Lösen Sie das AWP
y''=2y'-y
y(0)=0
y(0)=1

Eins der beiden soll vermutlich $\begin{eqnarray*} y'(0) \end{eqnarray*}$ darstellen - nur welches? verwirrt

Aber egal wie, beide Varianten passen nicht zu $\begin{eqnarray*} y(x)=(1+x)*e^{x} \end{eqnarray*}$ . Erstaunt1

26.06.2018, 23:09

Helena1

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Ups die sind beide falsch. Hab es falsch abgetippt. geschockt

Das sind die richtigen Werte y(0)=1, y'(0)=2

26.06.2018, 23:17

HAL 9000

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Zitat:

Original von Helena1 (korrigiert)
$\begin{eqnarray*} k_{2}=\vec{f}(x_{0}+\frac{h}{2} ,\vec{y_{0}+\frac{h}{2}*\vec{k_{1} } } )=\vec{f}(\frac{1}{8},\frac{5}{4}, \frac{19}{8} )=\begin{pmatrix} \frac{19}{{\color{red}8}} \\ \frac{7}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Schreibunfall? verwirrt

Beim klassischen RK4 ist außerdem $\begin{eqnarray*} k_4 = \vec{f}\left(x_0+h,\vec{y}_0+h\vec{k}_3\right) \end{eqnarray*}$ .

27.06.2018, 10:12

Helena1

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Stimmt. Hab mich verrechnet. traurig

Somit ändern sich alle folgenden k's.
$\begin{eqnarray*} k_{2}=\vec{f}(\frac{1}{8}, \frac{5}{4}, \frac{19}{8})= \begin{pmatrix} \frac{19}{8} \\ \frac{7}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k_{3}=\vec{f}(\frac{1}{8}, \frac{83}{64}, \frac{39}{16})= \begin{pmatrix} \frac{39}{16} \\ \frac{229}{64} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k_{4}=\vec{f}(\frac{1}{4}, \frac{103}{64}, \frac{741}{256})= \begin{pmatrix} \frac{741}{256} \\ \frac{535}{128} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Und somit auf
$\begin{eqnarray*} \vec{y_{1} } =\frac{h}{6}*(\vec{k_{1}}+2\vec{k_{2}}+2\vec{k_{3}}+\vec{k_{4} } )=\begin{pmatrix} 1,604980 \\ 2,888997 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn man für y(x) und y'(x) x=0,25 einsetzt erhält man
y(0,25)=1,605032, y'(0,25)=2,889057 daraus erhält man einen realen Fehler von $\begin{eqnarray*} \vec{y_{1} } -\vec{y_{ex}}(0,25) =\begin{pmatrix} -\frac{13}{250000} \\ -\frac{3}{50000} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Mal eine Frage zur Formel die ich angehängt habe. Ich konnte jetzt nirgens das $\begin{eqnarray*} \alpha ,\beta \end{eqnarray*}$ finden. Hab einfach die Formel des klassischen Runge-Kutta-Verfahren (p=4) auf meine Aufgabe angewendet und das hat gepasst. verwirrt

27.06.2018, 13:46

HAL 9000

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Zitat:

Original von Helena1
Wenn man für y(x) und y'(x) x=0,25 einsetzt erhält man
y(0,25)=1,605032, y'(0,25)=2,889057 daraus erhält man einen realen Fehler von $\begin{eqnarray*} \vec{y_{1} } -\vec{y_{ex}}(0,25) =\begin{pmatrix} -\frac{13}{250000} \\ -\frac{3}{50000} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

So wie du das rechts schreibst könnte man meinen, der Differenzvektor wäre rational. Ist er natürlich aufgrund von $\begin{eqnarray*} y(0.25)=1.25\cdot e^{0.25} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y'(0.25)=2.25\cdot e^{0.25} \end{eqnarray*}$ nicht, das sind beides irrationale Zahlen, während deine RK4-Approximationswerte tatsächlich rational sind. Augenzwinkern

27.06.2018, 14:33

Helena1

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Ok dann schreibe ich es lieber so auf
$\begin{eqnarray*} \vec{y_{1} } -\vec{y_{ex} }(0,25)=\begin{pmatrix} -5,2* 10^{-5} \\ -6* 10^{-5} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Mal eine Frage zur Formel die ich angehängt habe. Ich konnte jetzt nirgens das $\begin{eqnarray*} \alpha, \beta \end{eqnarray*}$ finden. Hab einfach die Formel des klassischen Runge-Kutta-Verfahren (p=4) auf meine Aufgabe angewendet und das hat gepasst. verwirrt

Wie kommt man denn darauf?

27.06.2018, 14:40

HAL 9000

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Zitat:

Original von Helena1
Ich konnte jetzt nirgens das $\begin{eqnarray*} \alpha, \beta \end{eqnarray*}$ finden.

Die stecken doch implizit in deiner Beschreibung

Zitat:

Original von Helena1 (letzte Zeile korrigiert)
$\begin{eqnarray*} k_{1}=\vec{f}(x_{0},\vec{y}_{0}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k_{2}=\vec{f}(x_{0}+\frac{h}{2} ,\vec{y}_{0}+\frac{h}{2}*\vec{k}_{1} ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k_{3}=\vec{f}(x_{0}+\frac{h}{2} ,\vec{y}_{0}+\frac{h}{2}*\vec{k}_{2} ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k_{4}=\vec{f}(x_{0}+h ,\vec{y}_{0}+h*\vec{k}_{3}) \end{eqnarray*}$

drin - vergleich das mit dem letzten Schema hier, wo diese Werte nochmal blank aufgelistet werden.

27.06.2018, 15:00

Helena1

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Ok habs verstanden. Vielen Dank. smile

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