Gleichungssystem lösen

27.06.2018, 17:44

Policeacademy

Gleichungssystem lösen

Hallo,

ich habe Probleme folgendes Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} a x_1 +a x_2 x_3&=& b c_1 \qquad (1)\\ a x_2 - a x_1 x_3&=&b c_2 \qquad (2)\\ x_3-x_1 x_2&=& bc_3 \qquad (3)\\ 1+x_1 x_2 x_3 &=&b c_4 \qquad (4) \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ mit den konstanten Parameter $\begin{eqnarray*} a,b,c_i \end{eqnarray*}$ zu lösen.

Hat jemand eine Idee wie man da am besten rangehen kann?

27.06.2018, 17:59

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Gleichungssystem Lösen
Zunächst könntest Du die dritte Gleichung $\begin{eqnarray*} x_3-x_1 x_2= bc_3 \to x_3=bc_3+x_1 x_2 \end{eqnarray*}$ umformen und somit $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ in den anderen Gleichungen ersetzen.

Dann zum Beispiel die erste Gleichung $\begin{eqnarray*} a x_1 +a x_2 (bc_3+x_1 x_2)= b c_1 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ auflösen und dies in Gleichung 2 und 4 einsetzen. Dann hast Du nur noch zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten.

Und so weiter.

Viele Grüße
Steffen

27.06.2018, 22:42

Policeacademy

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Zunächst könntest Du die dritte Gleichung $\begin{eqnarray*} x_3-x_1 x_2= bc_3 \to x_3=bc_3+x_1 x_2 \end{eqnarray*}$ umformen und somit $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ in den anderen Gleichungen ersetzen.

Die neuen Gleichungen lauten dann

$\begin{eqnarray*} ax_1+ax_2 \left(bc_3+x_1 x_2\right)&=&bc_1 \qquad (1')\\ ax_2 -ax_1\left(bc_3+x_1 x_2\right)&=&bc_2 \qquad (2')\\ 1+x_1x_2\left(bc_3+x_1 x_2\right)&=& bc_4 \qquad (4') \end{eqnarray*}$

Zitat:

Dann zum Beispiel die erste Gleichung $\begin{eqnarray*} a x_1 +a x_2 (bc_3+x_1 x_2)= b c_1 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ auflösen und dies in Gleichung 2 und 4 einsetzen.

(1') umstellen

$\begin{eqnarray*} x_1\left(a +ax_2 ^2\right) = bc_2-abc_3 x_2 \Rightarrow x_1 = \frac{bc_2-abc_3x_2}{a+ax_2 ^2} \end{eqnarray*}$

In (2') und (4') einsetzen:

$\begin{eqnarray*} (2'): \qquad ax_2 -\left( \frac{bc_2-abc_3x_2}{a+ax_2 ^2}\right)\left(bc_3+\left( \frac{bc_2-abc_3x_2}{a+ax_2 ^2}\right) x_2\right)&=&bc_2 \end{eqnarray*}$

Die Gleichung hängt doch nur noch von x_2 ab. Nach x_2 umzustellen ist aber nicht gerade trivial.

$\begin{eqnarray*} ax_2 -\frac{b^2c_2c_3a+b^2c_2x_2-a^2b^2c_3^2-abc_2c_3x_2^2}{(a+ax_2^2)^2}=bc_2 \end{eqnarray*}$

Hmm mache ich irgendwo einen Fehler? Für (4') kommt auch etwas kompliziertes raus?

Gruß

28.06.2018, 11:12

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, dass es einfach wird, hat niemand behauptet. smile

Mein CAS findet immerhin für (4) vier recht große Terme als Lösungen, die man dann alle nacheinander in (2) einsetzen könnte. Ab dann verweigert die Software allerdings auch bei mir die Weiterarbeit.

Wozu brauchst Du denn diese Lösung?

28.06.2018, 17:28

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Was auffällt sind 4 Gleichungen für 3 Unbekannte. Das dürfte für die meisten Parameterkombinationen schiefgehen, d.h. keine Lösung. verwirrt

Überhaupt kann man im Fall $\begin{eqnarray*} a\neq 0 \end{eqnarray*}$ das ganze reparametrisieren zu

$\begin{eqnarray*} x_1 +x_2 x_3&=& d_1 \qquad (1)\\ x_2 - x_1 x_3&=& d_2 \qquad (2)\\ x_3-x_1 x_2&=& d_3 \qquad (3)\\ x_1 x_2 x_3 &=& d_4 \qquad (4) \end{eqnarray*}$ ,

es besteht also keine Notwendigkeit für die 6 Parameter $\begin{eqnarray*} a,b,c_1,c_2,c_3,c_4 \end{eqnarray*}$ , wenn es auch 4 tun.

EDIT:

$\begin{eqnarray*} x_1\cdot (1)-(4) \end{eqnarray*}$ ergibt mit $\begin{eqnarray*} x_1^2 = d_1x_1-d_4 \end{eqnarray*}$ unmittelbar eine quadratische Gleichung in $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} x_2\cdot (2)+(4) \end{eqnarray*}$ ergibt $\begin{eqnarray*} x_2^2 = d_2x_2+d_4 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} x_3\cdot (3)+(4) \end{eqnarray*}$ ergibt $\begin{eqnarray*} x_3^2 = d_3x_3+d_4 \end{eqnarray*}$ .

Neue Frage »

Antworten »

Gleichungssystem lösen

Verwandte Themen